大問題

古代

1. 紀元前450年
   コンパスと定規による角の三等分問題幾何学, 代数学. 1837年にピエール・ヴァンツェルによって一般には不可能であることが証明された。角 $60^\circ$ の三等分には $\cos(20^\circ)$ の作図が必要となるが、その $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式 $8x^3 - 6x - 1 = 0$ の次数は $3$ であり、$2$ のべき乗ではない。解決済み
2. 紀元前450年
   円積問題幾何学, 代数学. コンパスと定規による円積問題は不可能である。なぜなら $\pi$ は超越数だからである。フェフェルディナント・フォン・リンデマン, 1882
3. 紀元前430年
   立方体倍積問題幾何学, 代数学. 古代よりデロス島の問題として知られたコンパスと定規による立方体倍積問題は、$\sqrt[3]{2}$ の $\mathbb{Q}$ 上の代数的次数が $2$ のべき乗ではない $3$ であることから、1837年にピエール・ヴァンツェルによって不可能であることが証明された。解決済み
4. 紀元前300年
   作図可能な正多角形（ガウス–ヴァンツェルの定理）幾何学, 代数学. ガウス–ヴァンツェルの定理（1796–1837年）により、正 $n$ 角形がコンパスと定規で作図可能であるための必要十分条件は、$n = 2^k p_1 \cdots p_m$ が $2$ のべき乗と相異なるフェルマー素数 $p_i = 2^{2^{r_i}} + 1$ の積として表されることである。カーカール・フリードリヒ・ガウス, 1837

近世

1. 1611
   ケプラー予想幾何学. 空間内で等しい球を最も密に積む方法は、おなじみの大砲の弾の積み方であり、その密度は $\pi/\sqrt{18}$ である。ヒルベルト #18トートーマス・ヘイルズ, 1998
2. 1637
   フェルマーの最終定理算術と数論. $x^n + y^n = z^n$ を満たす3つの正の整数は、いかなる整数指数 $n > 2$ に対しても存在しない — 1637年頃にフェルマーが述べ、1994〜1995年にアンドリュー・ワイルズ（リチャード・テイラーと共同）が半安定楕円曲線のモジュラー性によって証明した。アンアンドリュー・ワイルズ, 1994
3. 1650
   バーゼル問題解析学. $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2$ の和は $\pi^2/6$ に等しい。レオレオンハルト・オイラー, 1735

18世紀

1. 1736
   ケーニヒスベルクの七つの橋組合せ論と離散数学. そのような経路は存在しない。対応するグラフに奇数次数の頂点が4つあるからである。レオレオンハルト・オイラー, 1736
2. 1770
   五次方程式の非可解性代数学. 二次・三次・四次の解の公式とは異なり、一般の五次方程式を解くべき根の公式は存在しない——この事実はガロア理論によって完全に説明される。ニーニールス・ヘンリク・アーベル, 1824
3. 1770
   ウェアリングの問題算術と数論. すべての自然数は $4$ 個の平方数、$9$ 個の立方数、$19$ 個の4乗数などの和で表されるという問題。1770年にエドワード・ウェアリングが予想し、1909年にダフィット・ヒルベルトがすべての指数 $k$ に対して有限の上界 $g(k)$ が存在することを証明して解決した。ダフダフィット・ヒルベルト, 1909

19世紀

1. 1844
   カタラン予想算術と数論. 8と9は、正の整数の完全べき乗のうち連続する唯一の組である。カタランが1844年に予想し、ミハイレスクが2002年に証明した。プレプレダ・ミハイレスク, 2002
2. 1852
   四色定理組合せ論と離散数学. すべての平面地図（または自己ループのない平面グラフ $G$）は高々 $4$ 色で塗り分けられる（$\chi(G) \le 4$） — 1852年にフランシス・ガスリーが提起し、1976年にケネス・アッペルとヴォルフガング・ハーケンがコンピュータ支援により証明、1997年に簡略化され、2005年にジョルジュ・ゴンティエがCoqで形式検証を完了した。ケネケネス・アペル, 1976

20世紀

1. 1900
   ヒルベルトの第7問題算術と数論. 1934年にアレクサンドル・ゲルフォントとテオドール・シュナイダーによって独立に証明された。$\alpha \ne 0, 1$ が代数的数であり $\beta$ が代数的無理数であれば $\alpha^\beta$ は超越数となり、ヒルベルトが挙げた例 $2^{\sqrt{2}}$ と $e^\pi = (-1)^{-i}$ が一挙に解決された。ヒルベルト #7解決済み
2. 1900
   ヒルベルトの第10問題数学の基礎, 算術と数論. ディオファントス方程式が整数解を持つかどうかを一般に判定するアルゴリズムは存在しない——ヒルベルトの第10問題への答えは否定的である。ヒルベルト #10ユーユーリ・マチャセビッチ, 1970
3. 1900
   ヒルベルトの第3問題幾何学. 面積が等しい任意の2つの多角形は有限個の断片に切り分けて互いに組み直すことができるが、マックス・デーンは1900年に3次元での類似が成り立たないことを証明した。体積が等しい立方体と正四面体は $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ において異なるデーン不変量を持ち、決して互いに切り貼りできない。ヒルベルト #3解決済み
4. 1900
   8次元および24次元における球充填問題幾何学. $\mathbb{R}^8$ の $E_8$ 格子および $\mathbb{R}^{24}$ のリーチ格子 $\Lambda_{24}$ は、非周期的な配置も含めたすべての球充填の中で最高密度を達成する。2016年3月にマリナ・ヴィヤゾフスカ（$n=8$）とコーン、クマール、ミラー、ラドチェンコ、ヴィヤゾフスカ（$n=24$）によって解決された。解決済み
5. 1904
   ポアンカレ予想位相幾何学(トポロジー), 幾何学. 単連結な閉 $3$ 次元多様体はすべて $3$ 次元球面 $S^3$ に同相である — 1904年にアンリ・ポアンカレが提起し、2002〜2003年にグリゴリー・ペレルマンが手術付きリッチフローによって証明した、クレイ・ミレニアム懸賞問題で唯一解決された問題。ミレニアム賞グリグリゴリー・ペレルマン, 2003
6. 1916
   ビーベルバッハ予想解析学. 開単位円板上のすべての正規化された単葉正則関数 $f(z) = z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n$ は、すべての $n \ge 2$ に対して $|a_n| \le n$ を満たす（ド・ブランジュの定理）。解決済み
7. 1932
   エルデシュの食い違い問題組合せ論と離散数学, 算術と数論. 任意の無限 $\pm 1$ 数列は、ある斉次等差数列 $d, 2d, \dots, nd$ に沿っていくらでも大きな部分和をもつ。2015年にテレンス・タオによって証明された。エルデシュテレテレンス・タオ, 2015
8. 1933
   ボルスクの分割問題幾何学. $\mathbb{R}^n$ の任意の有界集合はより直径の小さい $n+1$ 個の部分に分割できるという1933年のボルスク予想は、$n \le 3$ では成り立つものの、1993年にジェフ・カーンとギル・カライによって高次元で反証され、現在では $n = 64$（および2026年のプレプリントでは $n = 63$）まで反例が知られている。反証済み
9. 1959
   カディソン・シンガー問題解析学. 対角部分環 $\ell^\infty(\mathbb{N})$ 上のすべての純粋状態は $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$ 上の純粋状態へ一意に拡張される。2013年に多項式の交錯族を用いて証明された。解決済み
10. 1960
    ケルヴェア不変量1の問題位相幾何学(トポロジー). ケルヴェア不変量1を持つ滑らかな閉枠付き多様体は次元 $2, 6, 14, 30, 62$ および（2024年のプレプリントによれば）$126$ においてのみ存在し、それより高い次元には存在しない。解決済み
11. 1960
    佐藤・テイト予想算術と数論. 虚数乗法をもたない楕円曲線の点の数 $\#E(\mathbb{F}_p)$ は、素数 $p$ が動くとき $p + 1$ の周りでどのように変動するか。1960年頃に佐藤幹夫とジョン・テイトが独立に提唱した、正規化されたフロベニウス角が分布 $\frac{2}{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta$ に従うという予想は、2008年から2011年にかけてクロゼル、ハリス、シェパード＝バロン、テイラー、バーネット＝ラム、ゲラティによって完全に解決された。解決済み
12. 1963
    ローレンツ・アトラクターの存在微分方程式と力学系. 古典的なローレンツ微分方程式系が実際に頑健なカオス的ストレンジ・アトラクターを持つことを示し、ウォリック・タッカーの厳密な計算機援用証明によってスメイルの第14問題を解決した。スメイル #14解決済み
13. 1963
    リンゲルの予想（優美な分解）組合せ論と離散数学. $n$ 本の辺をもつ任意の木は完全グラフ $K_{2n+1}$ に辺素に $2n+1$ 個詰め込めるという予想であり、2020年にモンゴメリー、ポクロフスキー、スダコフによって十分大きなすべての $n$ について証明された。解決済み
14. 1966
    アインシュタイン問題（非周期モノタイル）幾何学. 2023年、デイヴィッド・スミス、ジョセフ・サミュエル・マイヤーズ、クレイグ・S・カプラン、ハイム・グッドマン＝シュトラウスが13角形のポリカイト「ハット」および鏡映を要しない「スペクター」を発見したことで肯定的に解決された。解決済み
15. 1968
    仮想ハーケン予想位相幾何学(トポロジー). 無限基本群を持つすべての閉既約3次元多様体は、埋め込まれた非圧縮曲面を含む有限重被覆を持つ。解決済み
16. 1972
    エルデシュ・フェイバー・ロヴァース予想組合せ論と離散数学. どの2つも高々1頂点しか共有しないサイズ $n$ の $n$ 個のクリークの和集合は、常に $n$ 色で適切に頂点彩色できるか。1972年にポール・エルデシュ、ヴァンス・フェイバー、ラースロー・ロヴァースによって提起されたこの予想は、2021年にカン、ケリー、キューン、メトゥク、オストフスによって十分大きなすべての $n$ について証明され（2023年に Annals of Mathematics に掲載）、一方で小さな $n \le 12$ は計算機で検証済みであり中間の値のみが未解決として残っている。エルデシュ解決済み
17. 1985
    二段ベッド予想組合せ論と離散数学, 確率と統計. 垂直な柱で結ばれた2つの同一な層状グラフ上のパーコレーションにおいて、同じ層内での連結確率は常に異なる層間の連結確率以上になるか。1985年にカステレインが提起し、2024年にグラドコフ、パク、ジミンによって反証された。反証済み
18. 1987
    ラングランズ・プログラムの基本補題算術と数論, 代数学. 基本補題とは、簡約群とその内視群の間の軌道積分に関する組合せ論的な恒等式であり、ロバート・ラングランズとダイアナ・シェルスタッドによって予想された。これは、異なる群にまたがる保型表現を結びつける主要な道具であるアーサー・セルバーグ跡公式を安定化するために最後に残された部品であった。ンゴ・バオ・チャウは、この恒等式をヒッチン束のコホモロジーに関する主張として幾何学的に再解釈することで、一般の場合を証明した。ゴ・ゴ・バオ・チャウ, 2008
19. 1992
    感度予想（Sensitivity conjecture）組合せ論と離散数学, 応用数学と計算数学. ブール関数の感度 $s(f)$ はブロック感度、次数、決定木深さと多項式関係にあるか。1992年にノアム・ニサンとマリオ・セゲディが提唱し、ゴツマンとリニアルによって超立方体の誘導部分グラフの問題に帰着されたこの予想は、2019年にハオ・ホアン（黄皓）が $Q_n$ の任意の $(2^{n-1} + 1)$ 頂点誘導部分グラフで $\Delta(H) \ge \sqrt{n}$ となることをわずか2ページで証明して解決された。解決済み
20. 1995
    キャップ集合問題組合せ論と離散数学. アフィン直線を含まない $\mathbb{F}_3^n$ の部分集合はどれほど大きくなり得るか。2016年、エレンバーグとハイスワイトがクルート、レフ、パッハの多項式法を応用し、指数上界 $r_3(\mathbb{F}_3^n) = O(2.756^n)$ を証明して解決した。解決済み