ヒルベルトの第7問題

$\alpha$ を $\alpha \ne 0, 1$ である代数的数、$\beta$ を無理数である代数的数とするとき、べき乗 $\alpha^\beta = \exp(\beta \log \alpha)$ のすべての値は必ず超越数となるか。同値な言い換えとして、非零の代数的数 $\alpha_1, \alpha_2$ の対数の比が無理数 $\log \alpha_1 / \log \alpha_2 \notin \mathbb{Q}$ であるとき、その比は必ず超越数となるか。

1934年にアレクサンドル・ゲルフォントとテオドール・シュナイダーが数か月の差で独立に解決した(ゲルフォント–シュナイダーの定理)。背理法のため $\alpha^\beta$ が代数的であると仮定し、両者の証明ともジーゲルの補題を用いて格子点上で高位の零点を持つ整数係数の非零補助関数(ゲルフォントの版では $\exp((j + k\beta)z)$ の線形結合)を構成し、最大絶対値の原理による解析的な上界と、非零の代数的整数 $\gamma$ に対する代数的な下界 $|\mathrm{Norm}(\gamma)| \ge 1$ とを突き合わせて矛盾を導いた。