カールソンの定理

内容

任意の二乗可積分な周期関数 $f \in L^2([-\pi, \pi])$ に対して、そのフーリエ係数 $\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\,dt$ によるフーリエ級数の対称部分和 $S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N} \hat{f}(n) e^{inx}$ は、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x \in [-\pi, \pi]$ において $N \to \infty$ のとき $f(x)$ に各点収束する。（1968年にリチャード・ハントにより $1 < p < \infty$ であるすべての $f \in L^p([-\pi, \pi])$ へと拡張された。）

なぜ正しいのか?

パーセヴァルの等式はフーリエ部分和 $S_N f$ が平均的な $L^2$ エネルギーの意味で $f$ に収束することを保証するため、ニコライ・ルージンは1915年に $S_N f(x)$ がほとんどすべての個々の点 $x$ でも収束するだろうと予想した。しかしアンドレイ・コルモゴロフが1923〜1926年にフーリエ級数がいたるところ発散するような可積分関数 $f \in L^1([-\pi, \pi])$ を構成して解析学者たちに衝撃を与え、$L^2$ においてもルージン予想は偽ではないかと広く疑われるようになった。1966年、レナート・カールソンは有限エネルギー条件 $f \in L^2([-\pi, \pi])$ がディリクレ核の激しい振動を抑え込むのに十分強いことを証明した。異なるスケール間の相殺的干渉により、測度ゼロの集合を除いて部分和の発散が食い止められるのである。

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