定理証明済み

パーセヴァルの等式

内容

$f \in L^2([-\pi, \pi])$ を二乗可積分関数とし、 $n \in \mathbb{Z}$ に対する複素フーリエ係数を $c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\,dx$ とおく。このときフーリエ係数の絶対値の2乗和は収束し、 $f$ の正規化された $L^2$ ノルムの2乗に等しい： $\sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx$ 。より一般に、ヒルベルト空間 $H$ の任意の完全正規直交系 $(e_n)_{n \in I}$ と任意の $x \in H$ に対して $\|x\|^2 = \sum_{n \in I} |\langle x, e_n \rangle|^2$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

パーセヴァルの等式は無限次元の三平方の定理である。 $\mathbb{R}^3$ のベクトルの長さの2乗が互いに直交する3つの軸への射影の2乗和に等しいのと同じように、信号や波の総『エネルギー』 $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx$ は、各純粋周波数 $e^{inx}$ に含まれるエネルギー $|c_n|^2$ の総和に等しい。調和振動 $e^{inx}$ は互いに直交しているため、異なる周波数成分は総エネルギーにおいて干渉せず、関数を時間領域から周波数領域へ変換してもその $L^2$ 幾何構造は完全に保たれる。

証明の概略

$N$ 次フーリエ部分和を $S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{inx}$ とおく。正規直交性 $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{inx} e^{-imx}\,dx = \delta_{nm}$ を用いて非負の $L^2$ 誤差を展開すると $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x) - S_N f(x)|^2\,dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx - \sum_{n=-N}^{N} |c_n|^2 \ge 0$ となり、直ちにベッセルの不等式 $\sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 \le \|f\|_2^2$ が得られる。三角多項式（フェイエールのチェザロ平均 $\sigma_N f$ による）は $L^2([-\pi, \pi])$ で稠密であり、 $S_N f$ は次数 $N$ 以下の三角多項式の中で $f$ への $L^2$ 距離を最小化する直交射影であるから、 $N \to \infty$ のとき誤差 $\|f - S_N f\|_2^2 \to 0$ となり、ベッセルの不等式はパーセヴァルの等式になる。

この定理を使うトピック

フーリエ級数調和解析学関数解析学

参考文献

Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003). Fourier Analysis: An Introduction
Yitzhak Katznelson (2004). An Introduction to Harmonic Analysis · DOI:10.1017/CBO9781139165372