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フーリエ級数 どれほどぎざぎざな周期波でも、ほとんどの場合、周波数を増やしながら純粋なサインとコサインの音を足し合わせることで作れる。微妙なのは構成そのものではなく、その無限和がどのような意味で元の波に戻るのかを理解することである。
直観 純音から波を組み立てる 音叉から出る音は純粋なサイン波である。同じ高さのバイオリンの音はまったく違って聞こえる——それは基本周波数に加えて、その 2 , 3 , 4 , … 2, 3, 4, \dots 2 , 3 , 4 , … 倍音 が、バイオリン特有の音色を作る割合で重なっているからである。ジョゼフ・フーリエ(1807年)の大胆な発想は、これが楽器だけの特別な性質ではないというものだった:方形波のような鋭い角や跳躍を持つ信号を含め、ほとんどあらゆる 周期信号は、単一の基本周波数の整数倍の周波数を持つサインとコサインの和として書けるのである。
3 3 3 大学 フーリエ係数:振幅を求める 定義: フーリエ級数
f f f 2 π 2\pi 2 π x x x f ( x + 2 π ) = f ( x ) f(x+2\pi)=f(x) f ( x + 2 π ) = f ( x ) [ − π , π ] [-\pi,\pi] [ − π , π ] フーリエ級数 は f ( x ) ∼ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx\right) f ( x ) ∼ 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) 部分和 S N f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 N ( a n cos n x + b n sin n x ) S_N f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx\right) S N f ( x ) = 2 a 0 + ∑ n = 1 N ( a n cos n x + b n sin n x ) N N N f f f ∼ \sim ∼ f ( x ) f(x) f ( x )
a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x ( n ≥ 0 ) , b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x ( n ≥ 1 ) a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx\ (n\ge 0), \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx\ (n\ge 1) a n = π 1 ∫ − π π f ( x ) cos n x d x ( n ≥ 0 ) , b n = π 1 ∫ − π π f ( x ) sin n x d x ( n ≥ 1 ) これらの公式は思いつきではない。関数 1 , cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , … 1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots 1 , cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , … [ − π , π ] [-\pi,\pi] [ − π , π ] 直交 している:異なる2つの積の積分は 0 0 0 n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 ∫ − π π cos 2 n x d x = ∫ − π π sin 2 n x d x = π \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 nx\,dx = \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 nx\,dx = \pi ∫ − π π cos 2 n x d x = ∫ − π π sin 2 n x d x = π f f f cos m x \cos mx cos m x m m m a m a_m a m
f ( x ) ∼ ∑ n = − ∞ ∞ f ^ ( n ) e i n x , f ^ ( n ) = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat f(n)\, e^{inx}, \qquad \hat f(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\, e^{-inx}\, dx f ( x ) ∼ n = − ∞ ∑ ∞ f ^ ( n ) e in x , f ^ ( n ) = 2 π 1 ∫ − π π f ( x ) e − in x d x 例: 方形波のフーリエ級数
0 < x < π 0 < x < \pi 0 < x < π f ( x ) = 1 f(x) = 1 f ( x ) = 1 − π < x < 0 -\pi < x < 0 − π < x < 0 f ( x ) = − 1 f(x) = -1 f ( x ) = − 1 2 π 2\pi 2 π
解答 f f f n n n a n = 0 a_n=0 a n = 0 b n b_n b n b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x = 2 π ∫ 0 π sin n x d x = 2 n π ( 1 − cos n π ) b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin nx\,dx = \frac{2}{n\pi}\left(1-\cos n\pi\right) b n = π 1 ∫ − π π f ( x ) sin n x d x = π 2 ∫ 0 π sin n x d x = nπ 2 ( 1 − cos nπ ) n n n 0 0 0 n n n 4 n π \frac{4}{n\pi} nπ 4 f ( x ) ∼ 4 π ∑ k = 0 ∞ sin ( ( 2 k + 1 ) x ) 2 k + 1 = 4 π ( sin x + sin 3 x 3 + sin 5 x 5 + ⋯ ) f(x) \sim \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin\left((2k+1)x\right)}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right) f ( x ) ∼ π 4 ∑ k = 0 ∞ 2 k + 1 s i n ( ( 2 k + 1 ) x ) = π 4 ( sin x + 3 s i n 3 x + 5 s i n 5 x + ⋯ )
同じ方形波を 25 25 25 9 % 9\% 9% ギブス現象 である。 大学 パーセバルの等式:エネルギー保存 f f f a n , b n a_n, b_n a n , b n 1 π ∫ − π π ∣ f ( x ) ∣ 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 ) \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2 + b_n^2\right) π 1 ∫ − π π ∣ f ( x ) ∣ 2 d x = 2 a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 )
なぜ正しいのか? これはまさに、周期関数の無限次元空間におけるピタゴラスの定理である:1 , cos n x , sin n x 1,\cos nx,\sin nx 1 , cos n x , sin n x f f f ∫ ∣ f ∣ 2 \int |f|^2 ∫ ∣ f ∣ 2
証明 f f f ∣ f ( x ) ∣ 2 |f(x)|^2 ∣ f ( x ) ∣ 2 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [ − π , π ] n ≠ m n\ne m n = m ∫ cos n x cos m x = ∫ sin n x sin m x = 0 \int \cos nx\cos mx = \int \sin nx\sin mx = 0 ∫ cos n x cos m x = ∫ sin n x sin m x = 0 ∫ cos n x sin m x = 0 \int \cos nx\sin mx = 0 ∫ cos n x sin m x = 0 a n 2 ∫ cos 2 n x = a n 2 π a_n^2\int\cos^2 nx = a_n^2\pi a n 2 ∫ cos 2 n x = a n 2 π b n 2 ∫ sin 2 n x = b n 2 π b_n^2\int\sin^2 nx = b_n^2\pi b n 2 ∫ sin 2 n x = b n 2 π ( a 0 / 2 ) 2 ∫ 1 = a 0 2 π / 2 (a_0/2)^2\int 1 = a_0^2\pi/2 ( a 0 /2 ) 2 ∫ 1 = a 0 2 π /2 π \pi π
例: パーセバルの等式から導くバーゼル問題
( − π , π ] (-\pi, \pi] ( − π , π ] f ( x ) = x f(x) = x f ( x ) = x ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ∑ n = 1 ∞ n 2 1
解答 f f f a n = 0 a_n=0 a n = 0 b n = 2 π ∫ 0 π x sin n x d x = 2 ( − 1 ) n + 1 n b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\sin nx\,dx = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} b n = π 2 ∫ 0 π x sin n x d x = n 2 ( − 1 ) n + 1 1 π ∫ − π π x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n 2 \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 π 1 ∫ − π π x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n 2 1 π ⋅ 2 π 3 3 = 2 π 2 3 \frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3} π 1 ⋅ 3 2 π 3 = 3 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 = 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} = 4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} ∑ n = 1 ∞ n 2 4 = 4 ∑ n = 1 ∞ n 2 1 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} ∑ n = 1 ∞ n 2 1 = 6 π 2 sin x \sin x sin x
発展 級数は実際に f f f パーセバルの等式の意味での収束——平均二乗誤差による収束、いわゆる L 2 L^2 L 2 ∫ ∣ f ∣ 2 < ∞ \int |f|^2 < \infty ∫ ∣ f ∣ 2 < ∞ f f f x x x f f f S N f ( x ) → f ( x ) S_N f(x) \to f(x) S N f ( x ) → f ( x ) 至る所で 発散する可積分関数を構成した。
f ∈ L 2 ( − π , π ) f \in L^2(-\pi,\pi) f ∈ L 2 ( − π , π ) x x x S N f ( x ) → f ( x ) S_N f(x) \to f(x) S N f ( x ) → f ( x ) p > 1 p > 1 p > 1 f ∈ L p f \in L^p f ∈ L p
なぜ正しいのか? コルモゴロフの反例は L 1 L^1 L 1 f f f L 2 L^2 L 2 最大部分和 sup N ∣ S N f ( x ) ∣ \sup_N |S_N f(x)| sup N ∣ S N f ( x ) ∣
証明 完全な議論は20世紀解析学で最も難しい証明の一つとされ、本ページの範囲をはるかに超える。チャールズ・フェファーマンは1973年、時間-周波数の「タイル」に関する組合せ論的な議論を用いて、より見通しの良い(それでも技術的な)別証明を与えた。トピック[調和解析](/giai-tich-dieu-hoa)ではその背景にある描像を概説している。
歴史的ノート
三角級数はフーリエより数十年前、18世紀の振動する弦をめぐる論争の中に登場していた。レオンハルト・オイラーとジャン・ル・ロン・ダランベールは弦の方程式に対する進行波解を見つけたが、1753年にあらゆる 弾かれた弦の形はサインモード sin ( n x ) \sin(nx) sin ( n x )
レオンハルト・オイラー ジョゼフ・フーリエ
よくある誤り. f f f S N f ( x ) → f ( x ) S_N f(x) \to f(x) S N f ( x ) → f ( x ) 不十分 である——du Bois-Reymond の1873年の例はいたる所で連続だが、フーリエ級数はある1点で発散する。また跳躍不連続点では、級数は片側の値のどちらにも収束せず、その平均 f ( x − ) + f ( x + ) 2 \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2} 2 f ( x − ) + f ( x + ) x = 0 x=0 x = 0 0 0 0 ± 1 \pm1 ± 1 周期 2 π 2\pi 2 π a 0 a_0 a 0
1 π ∫ − π π f ( x ) d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx π 1 ∫ − π π f ( x ) d x 1 2 π ∫ − π π f ( x ) d x \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx 2 π 1 ∫ − π π f ( x ) d x 1 π ∫ − π π f ( x ) cos x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos x\,dx π 1 ∫ − π π f ( x ) cos x d x 2 ∫ − π π f ( x ) d x 2\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx 2 ∫ − π π f ( x ) d x f f f f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f ( − x ) = − f ( x )
コサイン係数 a n a_n a n サイン係数 b n b_n b n a n a_n a n b n b_n b n どちらも消えない ギブス現象によれば、跳躍不連続点の近くで部分和 S N f S_N f S N f
N N N f f f N N N 9 % 9\% 9% 至る所で左右の極限の平均に常に収束する すべての N N N ( − π , π ] (-\pi,\pi] ( − π , π ] f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ∑ n = 1 ∞ n 2 1
π 2 6 \frac{\pi^2}{6} 6 π 2 π 2 8 \frac{\pi^2}{8} 8 π 2 π 2 \frac{\pi}{2} 2 π π 2 4 \frac{\pi^2}{4} 4 π 2