陳の重み付き篩と切り替え原理:十分大きいすべての偶数は $p + P_2$ である(1966/1973年)

よくある質問

なぜこの手法は

P_2

から真の素数にまで拡張され、ゴールドバッハ予想自体を証明できないのか?

重み付き篩の不等式は下界が正であることを証明するだけであり、残った $N-p$ がちょうど2個ではなくちょうど1個の素因数を持つことを保証することはできない。まさにその区別こそが、篩には見えないパリティ問題だからである。真の素数に到達するには、篩の重みだけを超えた根本的に異なる道具が必要であり、現在そのような道具は知られていない。

出典

Chen Jingrun (1966 announcement, 1973 full proof); simplified by P. M. Ross (1975), 1973

On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes

要約版

ステップ 3/4: 切り替え原理:

p

と

p_1

の役割を交換する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

補正和を直接評価する——すべての素数 $p\le N$ とすべての分解 $N-p=p_1p_2p_3$ にわたって——のは、二つの異なる変数( $p$ と $p_1$ )を、通常の篩の評価では効率的に扱えない形で混ぜ合わせることになる。陳の切り替え原理は視点を変える:適切な中間範囲にある固定された素数 $p_1$ について、「 $p_1$ が $N-p$ を割り切る」という条件は、単に合同式 $p\equiv N\pmod{p_1}$ にすぎない。したがって、変動する $p$ にわたって $N-p$ を篩にかける代わりに、法 $p_1$ を法とする固定の剰余類の中で素数 $p$ そのものを篩にかける——元々の困難な「三因数」篩問題を、 $p_1$ にわたる和として、等差数列中の素数の分布に関するより易しい問題と交換するのである。

N-p = p_1p_2p_3 \ (p_1<p_2<p_3) \ \ \xrightarrow{\text{switch}} \ \ p \equiv N \!\!\pmod{p_1}, \quad p_1 \ \text{fixed in a middle range}

詳しい解説

切り替えの後、補正和の評価は $\sum_{p_1} \pi(N; p_1, N)$ ——剰余類 $N \bmod p_1$ における素数 $p\le N$ の個数——を、およそ $N^{1/3}$ までの素数 $p_1$ にわたって一様に評価することに帰着する。これはまさにボンビエリ・ヴィノグラドフの定理が適用される領域である:この定理は、法 $q$ が $N^{1/2-\varepsilon}$ までにわたる平均で、任意の剰余類 mod $q$ における素数の個数が素数定理から期待される通りであり、その誤差が(いまだ証明されていない一般化リーマン予想を必要とせず無条件に)十分小さく、補正和がステップ2の主項より証明可能な形で小さいことを示す。両者を組み合わせることで、十分大きいすべての偶数 $N$ について $W(N)>0$ が得られる。