公式証明済み
オイラーの多面体公式
内容
頂点数 、辺数 、面数 を持つ任意の凸多面体について、 が成り立つ。
なぜ正しいのか?
多面体の表面を平面に広げる（1つの面を取り除いて残りを平らに伸ばす）と、連結な平面グラフが得られる。辺の上に頂点を追加したり、辺を1本加えて面を分割したりすると、3つの数のうち2つが同時に+1と-1だけ変化するため、V - E + F はグラフをどう構成・簡約しても変わらない。
証明の概略
多面体の辺を内部の一点を中心とする球面上に投影し、次にある面の内部を通して球面に穴をあけ、平面グラフへと広げる。三角形でない面には対角線を加えて三角分割する（対角線を1本加えると辺が1本、面が1つ増えるので V - E + F は変わらない）。その後、2つの三角形に共有される外側の辺を1本ずつ取り除いていく——この操作は辺1本と面1つを取り除くか、頂点1つ・辺2本・面1つを取り除くかのいずれかで、どちらの場合も V - E + F は保たれる。最終的に三角形が1つだけ残り、そこでは V - E + F = 3 - 3 + 1 = 1 となる。最初に取り除いた面を戻せば V - E + F = 2 が得られる。
この定理を使うトピック
関連する定理
ステップごとの証明
参考文献
- David S. Richeson (2008). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
- Augustin-Louis Cauchy (1813). Recherches sur les polyèdres — première partie