オイラー標数

凸多面体の1つの面を取り除き、残りの表面を平面上に引き伸ばして広げると連結な平面グラフが得られ、その有界な各面は多面体の残りの $F - 1$ 個の面に対応し、非有界な外部領域は取り除いた面に対応する。

コーシー（1813年）の方法に従い、多面体を平面に投影して $V$ 個の頂点、$E$ 本の辺、$F$ 個の面（外部の面を含む）を持つ連結平面グラフとする。グラフに閉路が含まれていれば、その閉路上の辺を1本取り除くと隣接する2つの面が1つに統合され、$E$ と $F$ がともに $1$ ずつ減少し、$V$ は変わらないため $V - E + F$ も不変に保たれる。閉路がなくなるまでこれを繰り返すと、最終的に得られる連結で閉路を持たないグラフは木となり、$F = 1$（外部の面のみ）かつ $E = V - 1$ を満たす。したがって $V - E + F = V - (V - 1) + 1 = 2$ となる。

この定理により、オイラー標数は（向き付け可能性と合わせることで）閉2次元多様体の完全な「位相的指紋」となる。複雑な多角形の貼り合わせがどんな曲面を作るかを知りたければ、単に $V - E + F$ を計算し、貼り合わせが向きを反転させるかどうかを調べるだけでよい！

コンパクト連結曲面 $S$ を有限個の三角形に三角形分割し、それらを辺同士で貼り合わせる。三角形分割された曲面を、その双対グラフの全域木に沿って切り開くと、$2n$ 本の向き付けられた境界辺を持ち、$n$ 組に同一視される単一の多角形 $P$ が得られる。曲面に影響を与えない折り目である $a a^{-1}$ の形の隣接する組を繰り返し「ジッパーで閉じ」、同じラベルの2辺が離れているときは対角線に沿って切り貼りすることで、$P$ を2つの標準形のいずれかに帰着できる：向き付け可能な語 $a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} \cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}$ であれば種数 $g$ の曲面 $\Sigma_g$ が得られ、向きを反転する組が現れれば向き付け不可能な語 $c_1 c_1 \cdots c_k c_k$ であれば $k$ 個の射影平面の連結和 $N_k$ が得られる。

向き付け可能な標準形では、多角形の $4g$ 個の角がすべて1点に貼り合わされるので $V = 1$。$4g$ 本の境界辺は対になって $E = 2g$ となり、多角形の内部は1つの面のまま $F = 1$ である。したがって $\chi(\Sigma_g) = V - E + F = 1 - 2g + 1 = 2 - 2g$。向き付け不可能な標準形でも、$2k$ 個の角がすべて1つの頂点に集まり（$V = 1$）、$2k$ 本の辺が対になって $E = k$ となり、再び $F = 1$ なので $\chi(N_k) = 1 - k + 1 = 2 - k$ となる。$g \mapsto 2 - 2g$ と $k \mapsto 2 - k$ はいずれも非負整数上で狭義単調減少、したがって単射であるから、$S$ が向き付け可能かどうかとそのオイラー標数 $\chi(S)$ が分かれば $g$ または $k$ が一意に定まり、ひいては $S$ の同相類が完全に定まる。

左辺の $\int_M K\,dA$ は純粋に微分幾何学的な量（曲面をへこませたり引き伸ばしたりすると各点で変化する）であるのに対し、右辺の $2\pi\,\chi(M)$ は離散的な位相不変量（整数）に $2\pi$ を掛けたものである。球面をへこませても、正の曲率が増えた分だけ負の曲率を持つ鞍状の領域が新たに生じて正確に相殺し、全積分は $4\pi$ に固定されたまま動かない。またトーラス（$\chi = 0$）上では、外側の正の曲率と内側の負の曲率が常に打ち消し合って $0$ になる。

閉じた向き付け可能な曲面 $M$ の滑らかな測地三角形分割を選ぶ。頂点数 $V$、辺数 $E$、$F$ 個の三角形面 $T_1, \dots, T_F$ からなり、各三角形が1つの座標チャート内に収まるほど細かいものとする。小さな三角形の境界に沿って位置ベクトルにグリーンの定理を適用すると、局所的なガウス・ボネ恒等式が得られる：内角 $\alpha_{f,1}, \alpha_{f,2}, \alpha_{f,3}$ を持ち境界 $\partial T_f$ に沿って測地曲率 $\kappa_g$ を持つ各面 $T_f$ について、$\displaystyle\iint_{T_f} K\,dA + \int_{\partial T_f} \kappa_g\,ds = (\alpha_{f,1}+\alpha_{f,2}+\alpha_{f,3}) - \pi$。

この恒等式を $F$ 個すべての三角形について足し合わせると、各内部辺に沿った測地曲率の線積分は、隣接する各三角形から一度ずつ、互いに逆向きにちょうど二回現れるため、これらの境界項は完全に打ち消し合い、$\displaystyle\iint_M K\,dA = \sum_{f=1}^F (\alpha_{f,1}+\alpha_{f,2}+\alpha_{f,3}) - F\pi$ となる。$V$ 個の各頂点の周りの角度の和は一周分になるので、すべての内角の総和は $2\pi V$ に等しい。さらに、各三角形は $3$ 辺を持ち、各辺はちょうど $2$ つの三角形に接するので $3F = 2E$、すなわち $F\pi = (2E - 2F)\pi$ である。この2つの事実を足し合わせた恒等式に代入すると $\displaystyle\iint_M K\,dA = 2\pi V - 2\pi E + 2\pi F = 2\pi(V-E+F) = 2\pi\,\chi(M)$ が得られる。

これは、地球（$S^2$、$\chi = 2$）上の連続的な風の場には必ず少なくとも1つの風の吹かない「目」（指数の合計が $2$ となる低気圧や高気圧の渦など）が存在する一方、トーラス（$T^2$、$\chi = 0$）の上では経線に沿って走るどこでも零にならないベクトル場によって毛を完全に平らに梳かせる理由を説明してくれる！

ポアンカレ・ホップの指数公式 $\sum_{v(p)=0} \operatorname{ind}_p(v) = \chi(M)$ を証明するために、$v$ を、$M$ の細かい三角形分割上のモース関数から構成される同位なベクトル場に置き換える：$V$ 個の各頂点に指数 $+1$ の湧き出し、$E$ 個の各辺の中点に指数 $-1$ の鞍点、$F$ 個の各面の中心に指数 $+1$ の吸い込みを配置する。各零点の周りの小さな円板の境界に制限したベクトル場の指数は同位不変量であり、$v$ はすでに数えた円板の外側で零になることなくこの標準的な胞体場へ連続的に変形できるため、$v$ の指数の総和はこの標準場の指数の総和に等しい。

標準的な指数を足し合わせると $V(+1) + E(-1) + F(+1) = V - E + F = \chi(M)$ となるので、任意の閉曲面 $M$ について $\sum_{v(p)=0} \operatorname{ind}_p(v) = \chi(M)$ が成り立つ。球面の場合に特殊化すると $\chi(S^2) = 2 \neq 0$。もし $S^2$ 上の連続な接ベクトル場がどこにも零点を持たないとすると、指数公式の左辺は空和 $0$ となり、$\chi(S^2) = 2$ に矛盾する。したがって $S^2$ 上のいかなる連続な接ベクトル場も、ある点 $p \in S^2$ で零にならなければならない—毛玉はつむじを残さずに梳かし切ることはできない。