微分可能性は連続性を含意する

$x\neq x_0$ が $x_0$ の近くにあるとき、$f(x)-f(x_0) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot(x-x_0)$ と書く。$x\to x_0$ のとき、最初の因子は（微分可能性の定義により）有限な値 $f'(x_0)$ に近づき、2番目の因子は $0$ に近づく。有限な極限に収束する量と $0$ に収束する量の積は $0$ に近づくので、$f(x)-f(x_0)\to 0$ となり、すなわち $f$ は $x_0$ で連続である。