ざっくり言うと
コーヒーカップとドーナツは、位相幾何学者にとって「同じ形」であることで有名である。どちらもちょうど一つの穴が貫通しているからだ。額縁のように中央に長方形のトンネルが開いた立体は、実はドーナツが変装した姿にほかならない。手順1の平らに広げるトリックそのものが、表面にまったく穴がないことを必要としていたので、額縁型の立体は後のどこか細かい部分ではなく、まさに最初の一手で証明を壊してしまう。
詳しい解説
手順1〜5で組み立てた論証は、最初の一手で使われたただ一つの仮定に完全に依存している。すなわち、穴を開けた後の多面体の表面が、辺が交差することなく平面上に広げられるということであり、これは表面がそもそも位相的に球面であった場合にのみ可能である。凸多面体は常にこの性質を持つが、多くの非凸な多面体(たとえば凹んだ立方体)もこの性質を持つ——論証のどこにも凸性そのものは使われておらず、使われているのは球面的な位相だけである。
- 種数
- 曲面が持つ穴や取っ手の個数を数える整数 のことで、球面なら 、トーラス(ドーナツ)なら 、というように定める。
- オイラー標数
- 任意の多面体的な(あるいは三角形分割された)曲面から計算される量 のことで、手順1〜5により、それは曲面の具体的な形ではなく位相にのみ依存することが示される。