円周角の定理

内容

中心 $O$ の円周上に点 $A$、$B$、$C$ をとる。円周角 $\angle ACB$ は同じ弧 $AB$ に対する中心角 $\angle AOB$ の半分に等しく、$\angle ACB = \tfrac{1}{2}\angle AOB$ が成り立つ。したがって同じ弧に対する円周角はすべて等しく、半円に内接する角はつねに直角（$90^\circ$）である。

なぜ正しいのか?

円周上のすべての点は中心 $O$ から同じ距離 $R$ にあるため、頂点 $C$ から $A$ または $B$ へ引いた弦は二つの半径とともに二等辺三角形をつくる。中心 $O$ における外角はその二等辺三角形の二つの等しい底角の和に等しく、だからこそ円の反対側の縁から弧 $AB$ を見込む角は中心 $O$ から見込む角のちょうど半分になる。

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