正弦定理

半径 $R$ の $\triangle ABC$ の外接円を描き、$BD$ を直径とすると、$BD = 2R$ かつ $\angle BCD = 90^\circ$ である。$A$ が鋭角のとき、円周角 $\angle A$ と $\angle BDC$ は同じ弧 $BC$ に対する角なので等しく、直角三角形 $\triangle BDC$ において $\sin A = \sin(\angle BDC) = \dfrac{a}{2R}$、すなわち $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ が成り立つ（$A$ が鈍角のときも $\angle BDC = 180^\circ - A$ の正弦は同じである）。$b$ と $c$ についても同様に繰り返せば $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ が得られる。