トレミーの定理

対角線 $BD$ 上に $\angle BAM = \angle CAD$ となる点 $M$ をとる。円周角 $\angle ABM$ と $\angle ACD$ は同じ弧 $AD$ に対する角なので等しく、したがって $\triangle ABM$ と $\triangle ACD$ は相似となり、$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BM}{CD}$、すなわち $AB \cdot CD = AC \cdot BM$ が成り立つ。また $\angle BAM = \angle CAD$ の両辺に $\angle MAC$ を加えると $\angle BAC = \angle MAD$ となり、$\angle BCA = \angle BDA$ であるから $\triangle ABC$ と $\triangle AMD$ も相似となって $\dfrac{BC}{MD} = \dfrac{AC}{AD}$、すなわち $BC \cdot AD = AC \cdot MD$ を得る。この二式を足し合わせれば $AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC(BM + MD) = AC \cdot BD$ となる。