留数定理

内容

$U \subset \mathbb{C}$ を開領域、$S = \{a_1, \dots, a_m\} \subset U$ を正則関数 $f : U \setminus S \to \mathbb{C}$ の有限個の孤立特異点の集合とし、$\gamma$ を $U \setminus S$ 内の正の向き付けられた単純閉曲線で、その内部が $U$ に含まれかつ $S$ を含むものとする。このとき $\oint_{\gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{m} \operatorname{Res}(f, a_k)$ が成り立つ。ただし $\operatorname{Res}(f, a_k) = c_{-1}$ は $a_k$ の周りでの $f$ のローラン展開における $(z - a_k)^{-1}$ の係数である。

なぜ正しいのか?

コーシーの積分定理により、正則関数はどこでも循環がゼロであるため、閉曲線に沿う積分はループ内部にある『穴』$a_k$ からの寄与のみを拾い上げる。各穴の周りで $f(z)$ をローラン級数 $\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - a_k)^n$ に展開すると、$n \ne -1$ であるすべてのべき乗 $(z - a_k)^n$ は一価な原始関数 $(z - a_k)^{n+1}/(n+1)$ を持つため、閉曲線を一周すると積分はゼロになる。原始関数が多価関数 $\log(z - a_k)$ となる $(z - a_k)^{-1}$ の項だけが打ち消し合わず、$a_k$ の周りを一周するごとに $2\pi i\,c_{-1}$ という『留数（残りかす）』を残す。これにより、連続的な線積分の計算が少数の孤立点における純粋な代数計算へと帰着する。

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