コーシーの積分公式

内容

$U \subset \mathbb{C}$ を開領域、$f : U \to \mathbb{C}$ を正則関数とし、$\gamma$ を $U$ 内の正の向き付けられた単純閉曲線で、その内部が完全に $U$ に含まれるものとする。このとき $\gamma$ の内部の任意の点 $z_0$ に対して $f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz$ が成り立ち、さらに一般に任意の整数 $n \ge 0$ に対して $f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

正則関数はピンと張られた石鹸膜のように振る舞い、境界曲線 $\gamma$ 上の値によって内部のすべての点 $z_0$ での値が完全に決定される。$z - z_0$ で割ることは $z_0$ に1位の極を作って虫眼鏡のようなプローブを置くことに相当する。$\gamma$ に沿って積分すると、コーシーの積分定理によってループを $z_0$ の周りの微小な円へと縮めることができ、そこでは $f(z)$ は実質的に定数 $f(z_0)$ とみなせ、$1/(z - z_0)$ の回転がちょうど $2\pi i$ を寄与する。さらに驚くべきことに、積分記号下での微分により、1回複素微分可能であるだけで $f$ は自動的に無限回微分可能かつ解析的になる。

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