コーシーの積分定理

1825年のコーシーによる元の手法では $f'$ の連続性を仮定し、$f(z)\,dz = (u\,dx - v\,dy) + i(v\,dx + u\,dy)$ と書いてグリーンの定理を適用することで、コーシー・リーマンの方程式 $\partial u/\partial x = \partial v/\partial y$ および $\partial u/\partial y = -\partial v/\partial x$ により二重積分が消えることを示す。1900年にエドゥアール・グルサは $f'$ の連続性の仮定を取り除いた。まず任意の三角形 $T \subset U$ の周上の積分がゼロになることを示すため、$T$ を4つの小三角形に分割して積分の絶対値が最大のものを順次選び、収束先の点 $z_0$ での局所線形近似 $f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + o(|z - z_0|)$ を用いて、積分が周長の2乗の任意に小さい定数倍で抑えられることを示す。三角形の結果から星型領域上で原始関数を構成し、一般の単連結領域へと拡張する。