Lý thuyết độ đo

Vì các $f_n$ chỉ tăng lên, không có 'diện tích' nào bị mất hay đếm hai lần khi $n$ tăng; xếp chồng các xấp xỉ hàm đơn giản của chúng, tổng diện tích tích lũy hội tụ chính xác về diện tích dưới hàm giới hạn $f$.

Vì $\int f_n\,d\mu$ là một dãy không giảm các số thực mở rộng (do $f_n$ tăng), giới hạn $L := \lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ tồn tại trong $[0,\infty]$. Vì $f_n \le f$ với mọi $n$, tính đơn điệu của tích phân cho $\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu$ với mọi $n$, nên $L \le \int f\,d\mu$.

Với bất đẳng thức ngược lại, cố định một hàm đơn giản đo được $s$ bất kỳ với $0 \le s \le f$ và cố định một hằng số $c \in (0,1)$. Đặt $E_n = \{x : f_n(x) \ge c\,s(x)\}$. Vì $f_n$ tăng lên $f \ge s$ theo từng điểm, các tập $E_n$ tăng dần và hợp của chúng là (hầu như) toàn bộ $X$: với hầu hết $x$ mà $s(x)=0$ điều này tự động đúng, còn với hầu hết $x$ mà $s(x)>0$, cuối cùng $f_n(x) > c\,s(x)$ vì $f_n(x)\to f(x) \ge s(x) > c\,s(x)$.

Viết $s = \sum_k c_k \mathbf{1}_{E_k}$, ta có $\int f_n\,d\mu \ge \int_{E_n} f_n\,d\mu \ge c\int_{E_n} s\,d\mu = c\sum_k c_k\,\mu(E_k \cap E_n)$. Theo cộng tính đếm được (tính liên tục từ dưới của độ đo, vì $E_n$ tăng lên $X$), $\mu(E_k \cap E_n) \to \mu(E_k)$ khi $n\to\infty$, nên cho $n\to\infty$ ta được $L \ge c\sum_k c_k\,\mu(E_k) = c\int s\,d\mu$.

Cho $c \to 1$ ta được $L \ge \int s\,d\mu$ với mọi hàm đơn giản $s \le f$, và lấy cận trên đúng trên mọi $s$ như vậy (chính là định nghĩa của $\int f\,d\mu$) cho ta $L \ge \int f\,d\mu$. Kết hợp với $L \le \int f\,d\mu$ ở trên, ta kết luận $L = \int f\,d\mu$.

Hàm trội $g$ đóng vai trò một 'trần' cố định có tổng khối lượng hữu hạn mà không $f_n$ nào vượt qua, loại trừ khả năng khối lượng âm thầm thoát ra vô cùng — chính là kiểu thất bại đánh bại các lập luận đổi chỗ giới hạn ngây thơ khi không có tính đơn điệu để dựa vào.

Vì $g - f_n \ge 0$ hầu khắp nơi, bổ đề Fatou áp dụng được: $\int \liminf_{n\to\infty}(g-f_n)\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int (g-f_n)\,d\mu$. Vì $f_n \to f$, vế trái bằng $\int (g-f)\,d\mu = \int g\,d\mu - \int f\,d\mu$ (hợp lệ vì $\int g\,d\mu$ hữu hạn), và vế phải bằng $\int g\,d\mu - \limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$.

Triệt tiêu đại lượng hữu hạn $\int g\,d\mu$ ở cả hai vế cho $-\int f\,d\mu \le -\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$, tức $\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu$.

Tiếp theo, vì $g+f_n \ge 0$ hầu khắp nơi, bổ đề Fatou áp dụng cho $(g+f_n)$ cho $\int (g+f)\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int (g+f_n)\,d\mu$, và triệt tiêu $\int g\,d\mu$ lần nữa cho $\int f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$.

Kết hợp hai bất đẳng thức, $\limsup_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu \le \int f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$. Vì $\liminf \le \limsup$ luôn đúng, cả ba đại lượng phải trùng nhau, nên $\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu$ tồn tại và bằng $\int f\,d\mu$.