Trường số và vành số nguyên

Biết chính xác các số nguyên của $K$ là gì là bước bắt buộc đầu tiên để làm số học trong $K$: phân tích phần tử hoặc ideal, tính nhóm lớp, hay xác định số nguyên tố nào phân nhánh, tất cả đều cần một mô tả trung thực của $\mathcal O_K$, chứ không phải phỏng đoán ngây thơ $\mathbb Z[\sqrt d]$, vốn sai đúng một nửa trường hợp.

Viết $\alpha=a+b\sqrt d$ với $a,b\in\mathbb Q$. Nếu $b=0$, $\alpha=a\in\mathbb Q$ là số nguyên đại số khi và chỉ khi $a\in\mathbb Z$ (định lý nghiệm hữu tỉ), đó là trường hợp $b=0$ của $\mathbb Z[\sqrt d]$. Nếu $b\neq0$, đa thức tối tiểu của $\alpha$ trên $\mathbb Q$ là $x^2-2ax+(a^2-db^2)$ (vết của nó là $2a$, chuẩn của nó là $a^2-db^2$), nên $\alpha$ nguyên khi và chỉ khi cả $2a\in\mathbb Z$ lẫn $a^2-db^2\in\mathbb Z$.

Viết $u=2a\in\mathbb Z$. Từ $a^2-db^2\in\mathbb Z$, nhân với $4$ cho $u^2-4db^2\in4\mathbb Z\subset\mathbb Z$, nên $4db^2\in\mathbb Z$. Viết $b=p/q$ tối giản ($\gcd(p,q)=1$); khi đó $4db^2=4dp^2/q^2\in\mathbb Z$ buộc $q^2\mid4dp^2$, và vì $\gcd(p,q)=1$ điều này buộc $q^2\mid4d$. Vì $d$ square-free, luỹ thừa đúng lớn nhất chia hết $4d$ nhiều nhất là $4$, nên $q^2\mid4$, tức $q\in\{1,2\}$; dù thế nào $v:=2b\in\mathbb Z$.

Bây giờ thay $u=2a$, $v=2b$ (cả hai đều nguyên) vào $a^2-db^2\in\mathbb Z$: điều này trở thành $\tfrac{u^2-dv^2}{4}\in\mathbb Z$, tức $u^2\equiv dv^2\pmod4$. Bình phương theo mod $4$ chỉ là $0$ (chẵn) hoặc $1$ (lẻ). Nếu $v$ chẵn, $dv^2\equiv0\pmod4$ buộc $u$ cũng chẵn (vì $u^2$ lẻ sẽ cho $1\not\equiv0$); vậy $u,v$ đều chẵn, nghĩa là $a,b\in\mathbb Z$ — nghiệm "tầm thường", luôn có sẵn, cho $\mathbb Z[\sqrt d]\subseteq\mathcal O_K$ luôn đúng.

Nếu $v$ lẻ, $dv^2\equiv d\pmod4$ (vì $v^2\equiv1$), nên cần $u^2\equiv d\pmod4$. Nếu $d\equiv2,3\pmod4$ (tức $d\equiv2,3\pmod4$), không bình phương $u^2\in\{0,1\}\pmod4$ nào bằng $2$ hay $3\pmod4$, nên trường hợp này bất khả thi — chỉ còn nghiệm tầm thường $u,v$ đều chẵn, cho đúng $\mathcal O_K=\mathbb Z[\sqrt d]$. Nếu thay vào đó $d\equiv1\pmod4$ ($d\equiv1\pmod4$), ta cần $u^2\equiv1\pmod4$, thoả mãn bất cứ khi nào $u$ lẻ — và vì $v$ đã lẻ sẵn, $u\equiv v\pmod2$ chính là điều kiện cho $\alpha=\tfrac{u+v\sqrt d}2$ với $u,v$ đều lẻ, chính là $\mathbb Z+\mathbb Z\cdot\tfrac{1+\sqrt d}2$ (kiểm tra: bản thân $\tfrac{1+\sqrt d}2$ có $u=v=1$, đều lẻ), nên trong trường hợp này $\mathcal O_K=\mathbb Z\!\left[\tfrac{1+\sqrt d}2\right]$, thực sự lớn hơn $\mathbb Z[\sqrt d]$ (chỉ số $2$).

Đây chính là điều biện minh cho việc gọi $\mathcal O_K$ là một vành số nguyên: nếu không đóng dưới phép nhân, ta sẽ không thể nhân hai số nguyên của $K$ mà vẫn ở trong $\mathcal O_K$, khiến số học kiểu vành (phân tích thừa số, ideal) trở nên bất khả thi.

Trường hợp $d\equiv2,3\pmod4$ ($\mathcal O_K=\mathbb Z[\sqrt d]$, tức mọi phần tử $a+b\sqrt d$ với $a,b\in\mathbb Z$): phép cộng theo từng thành phần, $(a+b\sqrt d)+(c+e\sqrt d)=(a+c)+(b+e)\sqrt d$, rõ ràng lại có dạng này. Với phép nhân, $(a+b\sqrt d)(c+e\sqrt d)=(ac+bed)+(ae+bc)\sqrt d$, và vì $a,b,c,e,d\in\mathbb Z$, cả $ac+bed$ lẫn $ae+bc$ đều là số nguyên, nên tích vẫn nằm trong $\mathbb Z[\sqrt d]$.

Trường hợp $d\equiv1\pmod4$ ($\mathcal O_K=\mathbb Z[\omega]$ với $\omega=\tfrac{1+\sqrt d}2$): trước hết tính trực tiếp $\omega^2$. $\omega^2=\left(\tfrac{1+\sqrt d}2\right)^2=\tfrac{1+2\sqrt d+d}4=\tfrac{1+d}4+\tfrac{\sqrt d}2$. Vì $\sqrt d=2\omega-1$, điều này bằng $\tfrac{1+d}4+\omega-\tfrac12=\tfrac{d-1}4+\omega$. Vì $d\equiv1\pmod4$, $t:=\tfrac{d-1}4$ là số nguyên, nên $\omega^2=t+\omega$: một quan hệ nguyên đích thực cho thấy $\omega$ thoả đa thức đơn khởi nguyên $x^2-x-t$, xác nhận bản thân $\omega$ là nguyên (như phải vậy, khớp với Định lý 1), và quan trọng là biểu diễn lại $\omega^2$ dưới dạng tổ hợp nguyên của $1$ và $\omega$.

Bây giờ lấy các phần tử tổng quát $a+b\omega$ và $c+e\omega$ với $a,b,c,e\in\mathbb Z$; phép cộng lại theo từng thành phần và rõ ràng đóng. Với tích, $(a+b\omega)(c+e\omega)=ac+(ae+bc)\omega+be\,\omega^2=ac+(ae+bc)\omega+be(t+\omega)=(ac+bet)+(ae+bc+be)\omega$. Cả hai hệ số $ac+bet$ và $ae+bc+be$ đều là số nguyên (tích và tổng của các số nguyên), nên tích nằm trong $\mathbb Z+\mathbb Z\omega=\mathbb Z[\omega]$.

Trong cả hai trường hợp, tính đóng dưới phép cộng và phép nhân được kiểm chứng bằng tính toán trực tiếp, sơ cấp, xác nhận $\mathcal O_K$ thực sự là một vành con của $K$ chứa $\mathbb Z$ trong mọi trường bậc hai, đúng như cái tên "vành số nguyên" hứa hẹn.