Tích phân

Tốc độ tăng của diện tích tích lũy $A(x)$ theo $x$ chính là độ cao tức thời $f(x)$ của đường cong tại biên phải đang dịch chuyển. Khi đã biết $A'(x) = f(x)$, mọi nguyên hàm $F$ khác đều có cùng đạo hàm nên $A(x)$ và $F(x)$ chỉ sai khác một hằng số.

Với $h \neq 0$, tính chất cộng đoạn cho $A(x+h) - A(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt$. Vì $\int_x^{x+h} 1\,dt = h$, ta viết được $\frac{A(x+h) - A(x)}{h} - f(x) = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} [f(t) - f(x)]\,dt$. Do $f$ liên tục tại $x$, với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại $\delta > 0$ sao cho $|t - x| \le |h| < \delta$ kéo theo $|f(t) - f(x)| < \varepsilon$, suy ra $\left|\frac{A(x+h) - A(x)}{h} - f(x)\right| \le \varepsilon$, chứng tỏ $A'(x) = f(x)$. Ở phần (2), $(A - F)' = f - f = 0$ trên $[a, b]$ nên $A(x) - F(x) = C$; thay $x = a$ được $0 - F(a) = C$, rồi thay $x = b$ được $A(b) = F(b) - F(a)$.

Áp dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange cho nguyên hàm $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ trên $[a, b]$: tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho $A(b) - A(a) = A'(c)(b - a) = f(c)(b - a)$. Về mặt hình học, hình chữ nhật có đáy $b - a$ và chiều cao $f(c)$ có diện tích có dấu bằng đúng miền cong dưới $y = f(x)$.

Bước 1 — Định nghĩa hàm diện tích và áp dụng định lý cơ bản. Đặt $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. Theo định lý cơ bản, $f$ liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$ với $A'(x) = f(x)$.

**Bước 2 — Áp dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange cho $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$.** Vì $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$, tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho $A(b) - A(a) = A'(c)(b-a) = f(c)(b-a)$. Vì $A(a) = 0$, suy ra $\int_a^b f(x)\,dx = f(c)(b-a)$.

**Bước 3 — Kết luận $f$ đạt giá trị trung bình.** Chia cả hai vế cho $(b-a) > 0$ được $f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx = \bar{f}$. Theo Định lý Weierstrass, $f$ đạt giá trị nhỏ nhất $m$ và lớn nhất $M$ trên $[a,b]$; vì $m \le \bar{f} \le M$, Định lý giá trị trung gian đảm bảo $f$ đạt $\bar{f}$ tại một $c \in (a,b)$.

Cắt vật thể thành $n$ lát mỏng bề dày $\Delta x_i$; lát thứ $i$ xấp xỉ một hình trụ có diện tích đáy $S(x_i^*)$ và thể tích $S(x_i^*)\,\Delta x_i$. Cộng tất cả các lát lại cho ta tổng Riemann $\sum_{i=1}^n S(x_i^*)\,\Delta x_i \to \int_a^b S(x)\,dx$. Vì tích phân chỉ phụ thuộc vào $S(x)$, hai vật thể bất kỳ có diện tích thiết diện bằng nhau ở mọi độ cao thì có cùng thể tích (nguyên lý Cavalieri, 1635).

Bước 1 — Cắt thành các lát mỏng. Phân hoạch $[a,b]$ thành $n$ đoạn con bề rộng bằng nhau $\Delta x = (b-a)/n$. Trên đoạn con thứ $i$ là $[x_{i-1},x_i]$, xấp xỉ bởi một lát diện tích đáy $S(x_i^*)$ và bề dày $\Delta x$, thể tích $S(x_i^*)\,\Delta x$.

Bước 2 — Lập tổng Riemann và lấy giới hạn. Cộng tất cả các lát: $V_n = \sum_{i=1}^n S(x_i^*)\,\Delta x$. Vì $y = f(x)$ khả tích trên $[a,b]$, tổng này hội tụ khi $n \to \infty$ bất kể cách chọn điểm mẫu $x_i^*$: $V = \lim_{n\to\infty} V_n = \int_a^b S(x)\,dx$.

Bước 3 — Áp dụng cho khối tròn xoay và phát biểu nguyên lý Cavalieri. Quay hình phẳng dưới $y = f(x)$ quanh trục $x$ tạo các thiết diện bán kính $|f(x)|$, diện tích $S(x) = \pi[f(x)]^2$. Thay vào: $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$. Nguyên lý Cavalieri (1635): nếu hai vật thể thỏa $S_A(x) = S_B(x)$ với mọi $x \in [a,b]$ thì $\int_a^b S_A(x)\,dx = \int_a^b S_B(x)\,dx$, tức cùng thể tích bất kể hình dạng.