Định lý lớn Fermat

Đã giải, 1994Số học và Lý thuyết số

Phát biểu

Với mọi số nguyên $n > 2$ , phương trình Diophantine $x^n + y^n = z^n$ không có nghiệm nguyên dương $x, y, z$ .

Andrew Wiles công bố chứng minh vào tháng 6 năm 1993 tại Viện Isaac Newton ở Cambridge, thiết lập giả thuyết modular Taniyama–Shimura–Weil cho các đường cong elliptic bán ổn định — điều này, theo định lý năm 1986 của Ken Ribet trên đường cong của Gerhard Frey, kéo theo Định lý lớn Fermat. Trong quá trình phản biện, Nick Katz phát hiện một lỗ hổng tinh vi trong chặn hệ Euler dùng để kiểm soát nhóm Selmer. Làm việc cùng học trò cũ Richard Taylor, Wiles vượt qua trở ngại bằng cách phát triển phương pháp Taylor–Wiles cho các đại số Hecke và vành biến dạng Galois, hoàn tất chứng minh đã sửa vào tháng 9 năm 1994. Kết quả được xuất bản vào tháng 5 năm 1995 dưới dạng hai bài báo đi kèm trên tạp chí Annals of Mathematics (một bài của Wiles và một bài chung của Taylor và Wiles).

Người nêu, 1637Pierre de Fermat Người giải, 1994Andrew Wiles

Chứng minh tính modular của Wiles bằng phương pháp Taylor–Wiles (1994)Andrew Wiles, with a key step by Richard Taylor, 1994Độ khó 5/5Nghiên cứuBản tóm lược

Tài liệu tham khảo

Andrew Wiles (1995). Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem · DOI:10.2307/2118559
Richard Taylor, Andrew Wiles (1995). Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras · DOI:10.2307/2118560
Kenneth A. Ribet (1990). On modular representations of Gal(\bar{Q}/Q) arising from modular forms · DOI:10.1007/BF01231195

Lịch sử bài toán

1637Pierre de Fermat viết bên lề cuốn Arithmetica của Diophantus (bản dịch tiếng Latinh của Bachet) rằng một lập phương không thể tách thành tổng hai lập phương, và không lũy thừa bậc $n > 2$ nào tách được thành hai lũy thừa cùng bậc, đồng thời tuyên bố ông có một "chứng minh thật sự kỳ diệu" nhưng lề sách quá hẹp để ghi lại; chỉ có chứng minh của ông cho trường hợp $n = 4$ bằng phương pháp cực hạn lùi vô hạn là còn lưu lại.Pierre de Fermat
1770Leonhard Euler công bố chứng minh cho số mũ $n = 3$ bằng số học trong vành $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ ; một lỗ hổng trong giả định ngầm của ông về phân tích nhân tử duy nhất về sau được lấp đầy nhờ số nguyên Gauss và số nguyên Eisenstein.Leonhard Euler
1823Sophie Germain chứng minh tiêu chuẩn tổng quát đầu tiên áp dụng cho cả một lớp các số mũ nguyên tố: nếu $p$ và $2p + 1$ đều là số nguyên tố thì $x^p + y^p = z^p$ không có nghiệm nguyên thỏa mãn $p \nmid xyz$ (Trường hợp I của Định lý lớn Fermat).Sophie Germain
1847Ernst Kummer đưa ra khái niệm số lý tưởng nhằm khôi phục tính phân tích duy nhất của các ideal trong trường chia đường tròn $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ và chứng minh Định lý lớn Fermat cho mọi số nguyên tố chính quy $p$ (các số nguyên tố không chia hết số lớp của $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ ).
1984Tại một hội nghị ở Oberwolfach, Gerhard Frey gợi ý rằng một phản ví dụ giả định $a^p + b^p = c^p$ sẽ tạo ra đường cong elliptic bán ổn định $y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)$ có biệt thức kỳ dị đến mức nó không thể là modular; Jean-Pierre Serre phát biểu chính xác giả thuyết $\varepsilon$ cần thiết để hoàn thiện mối liên hệ này.
1986Ken Ribet chứng minh giả thuyết hạ mức $\varepsilon$ của Serre (xuất bản năm 1990), qua đó khẳng định Định lý lớn Fermat là hệ quả trực tiếp của giả thuyết modular Taniyama–Shimura–Weil cho các đường cong elliptic bán ổn định.
1993Sau bảy năm âm thầm nghiên cứu một mình, Andrew Wiles công bố chứng minh giả thuyết modular cho đường cong elliptic bán ổn định trong chuỗi ba bài giảng tại Cambridge vào tháng 6; trong quá trình phản biện, một lỗ hổng được phát hiện trong phép tính hệ Euler.Andrew Wiles
1994Andrew Wiles và Richard Taylor vá xong lỗ hổng vào tháng 9 bằng phương pháp ghép Taylor–Wiles cho các đại số Hecke và công bố bản thảo hoàn chỉnh; kết quả được đăng trên tạp chí Annals of Mathematics vào tháng 5 năm 1995.Andrew Wiles

Giải thưởng

Giải thưởng Wolfskehl, 100,000 Goldmark (DM 75,000 in 1997) — đã trao