Lời giải: Chứng minh của Ngô qua thớ Hitchin và định lý giá hình học (2008)

Waldspurger chứng minh vào những năm 1990 rằng bổ đề cơ bản cho một nhóm khử được $G$ suy ra một cách hình thức từ phát biểu tương ứng cho đại số Lie $\mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(G)$ của nó: một tích phân quỹ đạo trên $G$ gần phần tử đơn vị có thể khớp, từng số hạng một, với một tích phân quỹ đạo trên $\mathfrak{g}$ (Hales 2011, §1; Waldspurger 1997). Đây là một đơn giản hóa thực sự vì $\mathfrak{g}$ là một không gian vectơ, nên hình học của nó (tâm hóa, biệt thức) được chi phối bởi đại số đa thức thông thường thay vì phép nhân nhóm.

Waldspurger cũng chỉ ra, bằng cách so sánh các trường địa phương 'gần nhau', rằng chỉ cần chứng minh phát biểu đại số Lie trên các trường địa phương có đặc số dương bằng nhau như $\mathbb{F}_q((t))$, thay vì trực tiếp trên các số $p$-adic $\mathbb{Q}_p$; một thập kỷ sau, Raf Cluckers, Thomas Hales và François Loeser đưa ra một chứng minh độc lập, linh hoạt hơn cho cùng phép chuyển đổi này bằng lý thuyết mô hình của tích phân motivic, và nó cũng xử lý các phiên bản có trọng số $\kappa$ và phiên bản nhóm cần thiết ở cuối chứng minh.

Hai phép quy giản này chính xác là điều cho phép Ngô Bảo Châu tấn công bổ đề cơ bản bằng hình học đại số trên một đường cong xác định trên một trường hữu hạn: mọi thứ từ đây trở đi diễn ra cho các đại số Lie ở đặc số dương bằng nhau.