Lời giải: Chứng minh của Ngô qua thớ Hitchin và định lý giá hình học (2008)

Ngô thực hiện cùng phân tích phân tích-và-giá đó cho nhóm nội soi $H$, mà không gian tham số $A_H$ của nó ánh xạ tự nhiên vào $A$ qua phép nhúng dữ liệu nghiệm của $H$ vào của $G$. Định lý thuần khiết của Deligne, từ chứng minh giả thuyết Weil của ông, chặn các trọng số Frobenius xuất hiện trong đối đồng điều của cả hai thớ hóa, và kết hợp với định lý giá điều này buộc số điểm của thớ $G$ và thớ $H$ đã chuyển tại $a$ tổng quát phải trùng nhau chính xác, chứ không chỉ sai khác một sai số bị chặn (Ngô 2010, §7–8; Hales 2011, §6).

Theo công thức tích cho khối lượng — phép đếm toàn cục phân tích thành tích các phép đếm thớ Springer aphin địa phương, mỗi vị trí một cái, hầu hết bằng nhau một cách tầm thường vì $\gamma$ không rẽ nhánh ở đó — đẳng thức toàn cục này buộc từng số hạng địa phương phải khớp tại mọi vị trí còn lại, chính xác là đẳng thức tích phân quỹ đạo trọng số $\kappa$ mà Langlands và Shelstad đã đặt giả thuyết, nay đã được thiết lập cho đại số Lie của bất kỳ nhóm khử được nào trên một trường địa phương đặc số dương.

Đây là đỉnh điểm của bài báo Ngô: một phát biểu toàn cục, hình học, khớp đối đồng điều của hai họ đa tạp, đã được dịch ngược lại thành phát biểu địa phương, số học ở Bước 1.