Lời giải: Chứng minh của Ngô qua thớ Hitchin và định lý giá hình học (2008)

Định lý phân tích của Beilinson–Bernstein–Deligne–Gabber (BBD, 1982) khẳng định rằng với một ánh xạ riêng $f$ giữa các đa tạp đại số, phép đẩy tiến dẫn xuất của bó hằng tách, trong phạm trù dẫn xuất, thành một tổng trực tiếp các bó đảo ngược đơn giản đã dịch chuyển, mỗi bó có giá trên một đa tạp con đóng nào đó của đích. Áp dụng cho thớ hóa Hitchin $f: M \to A$, điều này phân tích đối đồng điều của toàn bộ họ thành hữu hạn các số hạng đảo ngược.

Mỗi số hạng 'gắn' với một giá — một đa tạp con của $A$ nơi nó khác không — và toàn bộ độ khó của bổ đề cơ bản quy về việc xác định chính xác những giá nào xuất hiện và mỗi số hạng lớn bao nhiêu trên miền mở, tổng quát của $A$ nơi các thớ là các thớ Springer aphin trơn (Hales 2011, §7; Ngô 2010, Định lý 6.4).

Đây là điểm mà chứng minh không còn là 'tìm một mẹo tích phân khéo léo' nữa, mà trở thành 'tính các giá có thể có của một phân tích trong một họ hình học cụ thể' — chủ đề của định lý giá ở bước tiếp theo.