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解法：Dehn不变量:四面体与立方体不是剪拼全等的(1900年)

第 1/7 步：希尔伯特第三问题:平面上的切割–重组技巧在三维中还成立吗?
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通俗地说

在中学几何中你会学到,任何多边形都可以用直线切成若干碎片,然后重新拼成一个面积相同的正方形——三角形、五边形、星形都无所谓,只要面积相符即可。1900年,大卫·希尔伯特在他著名的23个问题中的第三个问题里提出:同样的魔术在多一个维度时是否依然成立——任意两个体积相等的多面体,是否总能被切成有限多块实心碎片并重新拼成彼此?他怀疑答案是否定的,并要求给出证明——甚至不等答案揭晓,他就暗示找到一个显式的不变量障碍就能解决这个问题。

2D (Bolyai–Gerwien, 1833): equal area  ⟺  scissors-congruent3D (Hilbert’s 3rd problem, 1900):   ⟺  ?\text{2D (Bolyai–Gerwien, 1833): equal area} \iff \text{scissors-congruent} \qquad \text{3D (Hilbert's 3rd problem, 1900): } \overset{?}{\iff}
详细分析

有限多边形 P,QP, Q 被称为剪拼全等,如果 PP 能用直线段切成有限多块多边形碎片,并且(通过刚体运动)重新排列后恰好铺满 QQ。华莱士–波尔约–格尔文定理(经威廉·华莱士、法尔卡什·波尔约与保罗·格尔文各自独立的工作,到1833年基本完成)表明,这当且仅当 PP 与 QQ 面积相等时才成立:任何多边形都可以被三角剖分,每个三角形都能切成一个矩形,而总面积相同的矩形可以拼在一起再切成任何目标形状。

1900年在巴黎召开的国际数学家大会上提出的希尔伯特第三问题,问的是三维的类似情形:体积相等是否同样足以保证两个多面体剪拼全等(可以切成有限多块多面体碎片,再用刚体运动重新拼合)?希尔伯特猜测答案是否定的,并暗示严格的证明需要展示出某个额外的不变量,除体积之外,是剖分不能改变的——这正是他的学生Max Dehn在同一年内所执行的策略。

本证明接下来的部分构造了Dehn不变量(第2步),证明它在切割与重新拼合下不变(第3步),并在两个体积相等的具体立体——一个立方体和一个正四面体——上计算它,显示二者不同(第4–6步),从而对希尔伯特的问题给出了确定的否定答案(第6步),第7步则是Sydler在1965年完成的完整图景。

本步骤中的术语
剪拼全等
两个图形被称为剪拼全等,如果其中一个可以被切成有限多块(平面上是多边形碎片,空间中是多面体碎片),通过刚体运动重新排列后恰好构成另一个图形。
不变量
从一个图形计算出的一个量或代数对象,在某种被允许的操作(这里是切割与重新拼合)下保持不变;如果两个图形的不变量不同,就不存在这样的操作能把一个变成另一个。