MathLabs

Lời giải: Dòng Ricci có phẫu thuật của Perelman (2002–2003), tóm lược

Bước 4 trên 9: Entropy W và công thức đơn điệu của Perelman
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Phiếm hàm F ở bước trước hoạt động tốt nhưng thay đổi một cách không kiểm soát được nếu đa tạp chỉ đơn giản bị co giãn hay thu nhỏ — nó không bất biến tỉ lệ. Mượn ngôn ngữ từ cơ học thống kê, Perelman đã dựng một "entropy" W bất biến tỉ lệ mà vẫn chỉ có thể tăng.

Vì W không bao giờ giảm và bất biến tỉ lệ, lấy giá trị nhỏ nhất có thể của nó trên mọi lựa chọn hàm phụ trợ — gọi là mu — cho ra một con số duy nhất gắn với hình học tại mỗi thời điểm mà cũng không bao giờ giảm. Đây chính là công cụ sẽ ngăn đa tạp âm thầm mỏng dần thành một hình dạng ít chiều hơn.

W(gij,f,τ)=∫M[τ(∣∇f∣2+R)+f−n](4πτ)−n/2e−f dV,dWdt=∫M2τ∣Rij+∇i∇jf−12τgij∣2(4πτ)−n/2e−f dV≥0\mathcal{W}(g_{ij},f,\tau)=\int_M\Big[\tau\big(|\nabla f|^2+R\big)+f-n\Big](4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}\,dV,\quad \frac{d\mathcal{W}}{dt}=\int_M 2\tau\Big|R_{ij}+\nabla_i\nabla_j f-\frac{1}{2\tau}g_{ij}\Big|^2(4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}\,dV\ge 0
Phân tích chi tiết

Ghép ∂tgij=−2Rij\partial_t g_{ij}=-2R_{ij} với phương trình nhiệt liên hợp ngược thời gian ∂tf=−Δf+∣∇f∣2−R+n/(2τ), τt=−1\partial_t f=-\Delta f+|\nabla f|^2-R+n/(2\tau),\ \tau_t=-1 (giữ ∫M(4πτ)−n/2e−fdV=1\int_M(4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}dV=1), Perelman định nghĩa entropy W bất biến tỉ lệ (§3, arXiv:math/0211159) và chứng minh dW/dt≥0d\mathcal{W}/dt\ge 0 ở mọi số chiều, với dấu bằng chỉ tại các soliton Ricci co gradient.

Lấy μ(g,τ)=inf⁡fW(g,f,τ)\mu(g,\tau) = \inf_f \mathcal{W}(g,f,\tau) trên mọi ff hợp lệ cho ra một số thực với mỗi metric và mỗi thang τ\tau, đơn điệu không giảm dọc theo dòng (§4), không phụ thuộc vào lựa chọn cụ thể nào của hàm phụ trợ.

Đại lượng đơn điệu duy nhất này chính là bất biến được dùng ở bước tiếp theo để loại trừ "sụp đổ địa phương" — các vùng nơi đa tạp trông như đang suy biến về chiều thấp hơn dù độ cong vẫn bị chặn.

Thuật ngữ trong bước này
Phiếm hàm entropy (W\mathcal{W})
Một đại lượng bất biến tỉ lệ dựng từ metric, một hàm phụ trợ ff, và tham số thang τ\tau, mô phỏng theo entropy trong cơ học thống kê, đơn điệu không giảm dọc theo dòng Ricci.
Bất biến μ\mu
Infimum của entropy W\mathcal{W} trên mọi hàm phụ trợ ff hợp lệ ở một thang τ\tau cố định; một số thực duy nhất gắn với (g,τ)(g,\tau) thừa hưởng tính đơn điệu của W\mathcal{W}.
Kiến thức dùng ở bước này
Hình học Riemann