Lời giải: Dòng Ricci có phẫu thuật của Perelman (2002–2003), tóm lược

Một metric $g(t)$ được gọi là $\kappa$-không sụp đổ ở thang $\rho$ nếu mọi hình cầu trắc địa $B(p,r)$ với $r<\rho$ mà trên đó $|\mathrm{Rm}|\le r^{-2}$ đều có thể tích ít nhất $\kappa r^n$. Định lý của Perelman (§4, arXiv:math/0211159, được làm sắc nét hơn qua thể tích rút gọn ở §7–8) chỉ ra: cho $g(0)$ trên một $M^3$ đóng và $T<\infty$, tồn tại $\kappa=\kappa(g(0),T)>0$ sao cho dòng $\kappa$-không sụp đổ ở mọi thang $r<\sqrt T$ tới thời điểm $T$.

Sơ lược: nếu một dãy hình cầu như vậy có $r_k^{-n}\mathrm{Vol}(B_k)\to 0$ khi $t_k\to T$, thì thay hàm thử cắt cụt hỗ trợ trên $B_k$ vào $\mathcal{W}$ sẽ buộc $\mu(g(t_k),r_k^2)\to-\infty$, mâu thuẫn với $\mu(g(t_k),r_k^2)\ge\mu(g(0),t_k+r_k^2)$, hệ quả của tính đơn điệu của $\mathcal{W}$ đã chứng minh ở bước trước.

Điều này cung cấp đúng mảnh ghép còn thiếu trong chương trình của Hamilton: cận dưới thể tích đều cho ra kiểm soát bán kính đơn ánh mà định lý compact của Hamilton cần, nên các giới hạn thổi phóng tại bất kỳ kỳ dị thời gian hữu hạn nào thực sự hội tụ về các nghiệm cổ đại trơn — các đối tượng được phân loại ở bước tiếp theo.