Lời giải: Dòng Ricci có phẫu thuật của Perelman (2002–2003), tóm lược

Trong preprint thứ ba (arXiv:math/0307245; và độc lập, Tobias Colding và William Minicozzi đưa ra một lập luận liên quan), Perelman chứng minh rằng nếu một đa tạp 3 chiều đóng định hướng $M^3$ không có nhân tử nguyên tố phi cầu — đặc biệt nếu $\pi_1(M^3)=0$ — thì dòng Ricci có phẫu thuật tắt trong thời gian hữu hạn $T_{\mathrm{ext}}<\infty$, nghĩa là đa tạp bị tiêu thụ hoàn toàn bởi kỳ dị và phẫu thuật tới thời điểm đó.

Chứng minh dùng tính khác không của $\pi_2(M^3)$ hoặc $\pi_3(M^3)$ (được đảm bảo khi $M^3$ đơn liên và chưa phải là mặt cầu) để quét $M^3$ bằng một họ mặt cầu $2$ chiều hoặc đĩa cực tiểu; bề rộng min-max của phép quét này co lại với tốc độ được kiểm soát dưới dòng, không tăng qua phẫu thuật, và phải đạt tới không trong thời gian hữu hạn.

Đạt tới bề rộng không nghĩa là các mảnh cuối cùng còn lại bị phủ hoàn toàn bởi lân cận chính tắc và bị loại bỏ bởi phẫu thuật, nên không còn gì sau $T_{\mathrm{ext}}$; sự tắt hữu hạn này chính là điều cho phép toàn bộ lịch sử phẫu thuật được tháo ngược ở bước cuối để nhận diện đa tạp ban đầu.