Bài toán Suslin

Độc lập với tiên đềNền tảng toán học

Phát biểu

Cho $(L, <)$ là một tập thứ tự tuyến tính khác rỗng, trù mật, đầy đủ và không có điểm đầu mút sao cho mọi họ các khoảng mở khác rỗng rời nhau từng đôi một trong $L$ đều đếm được (điều kiện xích đếm được, ccc). Hỏi $(L, <)$ có bắt buộc phải đẳng cấu thứ tự với đường thẳng thực $(\mathbb{R}, <)$ hay không?

Thomas Jech (1967) và Stanley Tennenbaum (1968) xây dựng các mô hình ép chứa đường thẳng Suslin (bác bỏ Giả thuyết Suslin), Ronald Jensen (1968) chứng minh đường thẳng Suslin tồn tại trong vũ trụ khả kiến tạo $L$ của Gödel nhờ nguyên lý hình thoi $\diamondsuit$ , còn Robert Solovay và Tennenbaum (1971) phát minh phương pháp ép lặp để chứng minh Giả thuyết Suslin đúng dưới $\text{MA} + \neg\text{CH}$ .

Tính độc lập của giả thuyết Suslin với ZFC (Jensen, Solovay–Tennenbaum, 1971)Ronald Jensen, Robert M. Solovay, and Stanley Tennenbaum, 1971Độ khó 5/5Nghiên cứuBản tóm lược

Tài liệu tham khảo

Robert M. Solovay, Stanley Tennenbaum (1971). Iterated Cohen extensions and Souslin's problem · DOI:10.2307/1970745
Ronald B. Jensen (1972). The fine structure of the constructible hierarchy · DOI:10.1016/0003-4843(72)90001-0
Thomas Jech (2003). Set Theory

Lịch sử bài toán

1920Bài toán của Mikhail Suslin xuất hiện trong tập đầu tiên của tạp chí Fundamenta Mathematicae, hỏi liệu mọi thứ tự tuyến tính đầy đủ, trù mật, không bị chặn và thỏa điều kiện xích đếm được có luôn khả ly hay không.
1943Edwin W. Miller chứng minh phản ví dụ cho bài toán Suslin (đường thẳng Suslin) tồn tại khi và chỉ khi tồn tại một cây Suslin: một cây có chiều cao $\omega_1$ mà mọi nhánh và mọi phản xích đều đếm được.
1967Thomas Jech và độc lập vào năm 1968 là Stanley Tennenbaum dùng phương pháp ép để xây dựng các mô hình của ZFC có chứa cây Suslin, chứng minh rằng không thể chứng minh Giả thuyết Suslin từ ZFC.
1968Ronald Jensen rút ra nguyên lý tổ hợp $\diamondsuit$ từ vũ trụ khả kiến tạo $L$ của Gödel và chỉ ra rằng $V = L$ kéo theo sự tồn tại của cây Suslin.Kurt Gödel
1971Robert Solovay và Stanley Tennenbaum phát triển các mở rộng Cohen lặp để triệt tiêu mọi cây Suslin mà không làm sụp đổ $\omega_1$ , chứng minh Giả thuyết Suslin nhất quán với ZFC.Paul Cohen