Bài toán Waring

Với mọi số mũ nguyên $k \ge 1$, tồn tại một số hữu hạn $g(k)$ sao cho mọi số nguyên dương $n \ge 1$ đều biểu diễn được thành tổng của nhiều nhất $s \le g(k)$ lũy thừa bậc $k$ không âm: $n = x_1^k + x_2^k + \dots + x_s^k$.

Được Edward Waring nêu lần đầu năm 1770, sự tồn tại định tính của $g(k)$ với mọi $k$ (định lý Hilbert–Waring) đã được David Hilbert chứng minh năm 1909 bằng các đồng nhất thức đa thức suy ra từ tích phân bội $25$ trên mặt cầu đơn vị. Trong thập niên 1920, G. H. Hardy và J. E. Littlewood phát triển phương pháp vòng tròn giải tích để đưa ra các cận định lượng và nghiên cứu $G(k)$ — số lũy thừa bậc $k$ cần thiết cho mọi số nguyên đủ lớn — sau đó được I. M. Vinogradov, Hoa La Canh và Trevor Wooley tinh chỉnh.