Định lý Carleson

Phát biểu

Với mọi hàm tuần hoàn khả tích bình phương $f \in L^2([-\pi, \pi])$, các tổng riêng đối xứng $S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N} \hat{f}(n) e^{inx}$ của chuỗi Fourier của nó, trong đó $\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\,dt$, hội tụ từng điểm về $f(x)$ khi $N \to \infty$ tại hầu khắp $x \in [-\pi, \pi]$ theo độ đo Lebesgue. (Được Richard Hunt mở rộng năm 1968 cho mọi $f \in L^p([-\pi, \pi])$ với $1 < p < \infty$.)

Vì sao đúng?

Đồng nhất thức Parseval bảo đảm rằng các tổng riêng Fourier $S_N f$ hội tụ về $f$ theo năng lượng trung bình $L^2$, nên Nikolai Luzin đã phỏng đoán vào năm 1915 rằng $S_N f(x)$ cũng phải hội tụ tại hầu khắp từng điểm $x$ riêng lẻ. Thế nhưng Andrey Kolmogorov đã gây chấn động giới giải tích vào giai đoạn 1923–1926 khi dựng được một hàm khả tích $f \in L^1([-\pi, \pi])$ có chuỗi Fourier phân kỳ tại mọi điểm, khiến nhiều người nghi ngờ giả thuyết Luzin cũng sai ngay cả với $L^2$. Năm 1966, Lennart Carleson chứng minh rằng điều kiện năng lượng hữu hạn $f \in L^2([-\pi, \pi])$ đủ mạnh để chế ngự các dao động dữ dội của nhân Dirichlet: sự giao thoa triệt tiêu qua các thang đo ngăn không cho các tổng riêng bùng nổ, ngoại trừ trên một tập có độ đo bằng không.

Chủ đề chứa định lý này

Định lý liên quan

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.