Giải tích

Chuỗi Fourier

Gần như mọi sóng tuần hoàn, dù gồ ghề đến đâu, đều có thể dựng lại bằng cách cộng các tông thuần sin và cosin với tần số tăng dần. Phần tinh tế không nằm ở cách dựng — mà ở việc hiểu theo nghĩa nào thì tổng vô hạn đó quay trở lại đúng sóng ban đầu.

Trực giácDựng một sóng từ các tông thuần

Một tông nhạc từ âm thoa là một sóng sin thuần túy. Một tông từ đàn violin có cùng cao độ nghe hoàn toàn khác — vì nó thực ra là tổng của tần số cơ bản cộng với các họa âm nhỏ hơn ở $2, 3, 4, \dots$ lần tần số đó, theo những tỉ lệ tạo nên âm sắc riêng của violin. Ý tưởng táo bạo của Joseph Fourier (1807) là điều này không chỉ đúng cho nhạc cụ: gần như mọi tín hiệu tuần hoàn, kể cả loại có góc nhọn hay bước nhảy như sóng vuông, đều có thể viết thành tổng các hàm sin và cosin có tần số là bội nguyên của một tần số cơ bản duy nhất.

Một sóng vuông được xấp xỉ chỉ bằng

3

họa âm sin. Mỗi họa âm thêm vào uốn đường cong gợn sóng lại gần hơn với các góc nhọn của sóng vuông.

Đại họcHệ số Fourier: tìm các biên độ

Định nghĩa: Chuỗi Fourier

Cho $f$ là hàm có chu kỳ $2\pi$ (nghĩa là $f(x+2\pi)=f(x)$ với mọi $x$ ), khả tích trên $[-\pi,\pi]$ . Chuỗi Fourier của nó là $f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx\right)$ , và tổng riêng $S_N f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx\right)$ là phép xấp xỉ tốt nhất cho $f$ được dựng chỉ từ $N$ họa âm đầu tiên. Ký hiệu $\sim$ là có chủ ý: liệu chuỗi có thực sự hội tụ về đúng $f(x)$ hay không là một câu hỏi riêng, được bàn tới ở phần sau.

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx\ (n\ge 0), \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx\ (n\ge 1)

Các công thức này không phải bịa ra ngẫu nhiên. Các hàm $1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots$ trực giao với nhau trên $[-\pi,\pi]$ : tích phân của tích hai hàm khác nhau bằng $0$ , còn $\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 nx\,dx = \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 nx\,dx = \pi$ với $n\ge1$ . Nhân chuỗi của $f$ với $\cos mx$ rồi lấy tích phân từng số hạng khiến mọi số hạng triệt tiêu trừ số hạng ứng với $m$ , từ đó tách riêng được $a_m$ — đúng mánh khóe dùng để tìm tọa độ theo một cơ sở trực chuẩn trong không gian vectơ, chỉ khác là "vectơ" ở đây là các hàm số.

f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat f(n)\, e^{inx}, \qquad \hat f(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\, e^{-inx}\, dx

Ví dụ: Chuỗi Fourier của sóng vuông

Tìm chuỗi Fourier của sóng vuông tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ : $f(x) = 1$ với $0 < x < \pi$ và $f(x) = -1$ với $-\pi < x < 0$ .

Lời giải

Vì $f$ là hàm lẻ nên $a_n=0$ với mọi $n$ . Với $b_n$ : $b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin nx\,dx = \frac{2}{n\pi}\left(1-\cos n\pi\right)$ . Giá trị này bằng $0$ khi $n$ chẵn, và bằng $\frac{4}{n\pi}$ khi $n$ lẻ. Vậy $f(x) \sim \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin\left((2k+1)x\right)}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right)$ .

Cùng sóng vuông đó với

25

họa âm. Phép xấp xỉ sắc nét hơn nhiều, nhưng ngay sát chỗ nhảy nó vẫn vọt lố khỏi giá trị đích khoảng

9\%

độ cao bước nhảy — dù có cộng thêm bao nhiêu họa âm đi nữa. Sự vọt lố dai dẳng này gọi là hiện tượng Gibbs.

Đại họcĐẳng thức Parseval: bảo toàn năng lượng

Định lý: Đẳng thức Parseval

Nếu $f$ có các hệ số Fourier $a_n, b_n$ thì $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2 + b_n^2\right)$ .

Vì sao đúng?

Đây chính xác là định lý Pythagoras trong không gian vô hạn chiều của các hàm tuần hoàn: vì $1,\cos nx,\sin nx$ trực giao với nhau, "bình phương độ dài" $\int |f|^2$ của $f$ tách thành tổng bình phương độ dài các thành phần của nó theo từng hướng, không còn số hạng chéo nào sống sót sau khi lấy tích phân.

Chứng minh

Khai triển $|f(x)|^2$ theo chuỗi của $f$ rồi lấy tích phân từng số hạng trên $[-\pi,\pi]$ . Do tính trực giao, $\int \cos nx\cos mx = \int \sin nx\sin mx = 0$ khi $n\ne m$ và $\int \cos nx\sin mx = 0$ luôn luôn, nên chỉ các số hạng "trên đường chéo" $a_n^2\int\cos^2 nx = a_n^2\pi$ , $b_n^2\int\sin^2 nx = b_n^2\pi$ và $(a_0/2)^2\int 1 = a_0^2\pi/2$ còn sống sót; chia cho $\pi$ ta được công thức đã nêu.

Ví dụ: Bài toán Basel từ đẳng thức Parseval

Áp dụng đẳng thức Parseval cho sóng răng cưa $f(x) = x$ trên $(-\pi, \pi]$ , mở rộng tuần hoàn, để tính $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ — [bài toán Basel](/problems/basel-problem).

Lời giải

Vì $f$ lẻ nên $a_n=0$ ; một phép tính ngắn cho $b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\sin nx\,dx = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ . Đẳng thức Parseval trở thành $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2$ . Vế trái bằng $\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}$ , còn vế phải bằng $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} = 4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ . Cân bằng hai vế và giải ra $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ — giá trị mà Leonhard Euler lần đầu công bố năm 1735 bằng một lập luận hoàn toàn khác, tinh tế hơn, dùng tích vô hạn của $\sin x$ ; cách suy ra bằng giải tích Fourier này xuất hiện sau, khi lý thuyết đã được làm chặt chẽ.

Nâng caoChuỗi có thực sự hội tụ về đúng $f$ không?

Theo nghĩa của đẳng thức Parseval — hội tụ theo sai số bình phương trung bình, gọi là hội tụ $L^2$ — câu trả lời luôn là có, với mọi $f$ thỏa $\int |f|^2 < \infty$ . Hội tụ từng điểm, tại một $x$ cụ thể, tinh tế hơn nhiều. Dirichlet chứng minh năm 1829 rằng $S_N f(x) \to f(x)$ bất cứ khi nào $f$ liên tục từng khúc và trơn từng khúc (và tại một bước nhảy, chuỗi hội tụ về trung bình của giới hạn trái và phải). Người ta từng tin điều này sẽ mở rộng cho mọi hàm liên tục, cho tới khi du Bois-Reymond dựng được một hàm liên tục có chuỗi Fourier phân kỳ tại một điểm (1873). Kolmogorov còn đi xa hơn năm 1923, dựng một hàm khả tích có chuỗi Fourier phân kỳ khắp nơi.

Định lý: Định lý Carleson

Nếu $f \in L^2(-\pi,\pi)$ thì $S_N f(x) \to f(x)$ với hầu hết $x$ (Hunt mở rộng kết quả này năm 1968 cho mọi $f \in L^p$ với $p > 1$ ).

Vì sao đúng?

Phản ví dụ của Kolmogorov sống trong $L^1$ , không gian lớn nhất mà hệ số Fourier còn có nghĩa; định lý Carleson (1966) cho thấy rắc rối đó thực sự biến mất ngay khi $f$ có năng lượng hữu hạn ( $L^2$ ). Chứng minh không chỉ ra hội tụ một cách trực tiếp — nó khống chế tổng riêng cực đại $\sup_N |S_N f(x)|$ bằng một phép phân tích thời gian–tần số tinh vi, tách hàm số thành các gói sóng định xứ.

Chứng minh

Lập luận đầy đủ được xem là một trong những chứng minh khó nhất của giải tích thế kỷ 20 và vượt xa phạm vi trang này; Charles Fefferman đưa ra một phiên bản dễ hiểu hơn (dù vẫn kỹ thuật) năm 1973 bằng một lập luận tổ hợp trên các "ô" thời gian–tần số. Chủ đề [Giải tích điều hòa](/giai-tich-dieu-hoa) phác họa bức tranh nền tảng của nó.

Ghi chú lịch sử

Chuỗi lượng giác xuất hiện nhiều thập kỷ trước Fourier, trong một cuộc tranh cãi thế kỷ 18 về sợi dây rung. Leonhard Euler và Jean le Rond d'Alembert tìm ra các nghiệm sóng chạy cho phương trình dây, nhưng bất đồng với Daniel Bernoulli, người khẳng định năm 1753 rằng mọi hình dạng có thể có của một dây bị gảy đều có thể viết thành tổng các mode sin $\sin(nx)$ — một khẳng định mà Euler cho là vô lý với các hình dạng có góc nhọn. Hóa ra Bernoulli đúng về bản chất. Joseph Fourier hồi sinh ý tưởng này trong một hồi ký năm 1807 về truyền nhiệt (ban đầu bị Viện Hàn lâm Paris từ chối vì thiếu chặt chẽ) và một chuyên khảo đầy đủ năm 1822, khẳng định khai triển này đúng cho hầu như mọi hàm số bất kỳ; việc làm chính xác khẳng định đó chiếm trọn thế kỷ rưỡi tiếp theo của các nhà giải tích.

Leonhard Euler Joseph Fourier

Với hàm số có chu kỳ $2\pi$ , hệ số Fourier $a_0$ được định nghĩa là

Nếu $f$ là hàm lẻ (nghĩa là $f(-x)=-f(x)$ ), những hệ số Fourier nào tự động triệt tiêu?

Hiện tượng Gibbs nói rằng gần một điểm gián đoạn nhảy, các tổng riêng $S_N f$

Dùng đẳng thức Parseval cho chuỗi Fourier của $f(x)=x$ trên $(-\pi,\pi]$ , tổng $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ bằng

Tài liệu tham khảo

Joseph Fourier (1822). Théorie analytique de la chaleur · DOI:10.1017/cbo9780511693229
Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003). Fourier Analysis: An Introduction
T. W. Körner (1988). Fourier Analysis
Lennart Carleson (1966). On convergence and growth of partial sums of Fourier series