MathLabs
Định lýĐã chứng minh

Đồng nhất thức Parseval

Phát biểu

Cho f∈L2([−π,π])f \in L^2([-\pi, \pi]) là một hàm khả tích bình phương với các hệ số Fourier phức cn=12π∫−ππf(x)e−inx dxc_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\,dx với n∈Zn \in \mathbb{Z}. Khi đó chuỗi bình phương môđun các hệ số Fourier của nó hội tụ và bằng bình phương chuẩn L2L^2 chuẩn hóa của ff: ∑n=−∞∞∣cn∣2=12π∫−ππ∣f(x)∣2 dx\sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx. Tổng quát hơn, với mọi cơ sở trực chuẩn (en)n∈I(e_n)_{n \in I} của không gian Hilbert HH và mọi x∈Hx \in H, ta có ∥x∥2=∑n∈I∣⟨x,en⟩∣2\|x\|^2 = \sum_{n \in I} |\langle x, e_n \rangle|^2.

Vì sao đúng?

Đồng nhất thức Parseval chính là định lý Pythagoras trong không gian vô hạn chiều. Cũng như bình phương độ dài của một vectơ trong R3\mathbb{R}^3 bằng tổng bình phương các hình chiếu của nó lên ba trục đôi một vuông góc, tổng 'năng lượng' 12π∫−ππ∣f(x)∣2 dx\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx của một tín hiệu hay sóng bằng đúng tổng các năng lượng ∣cn∣2|c_n|^2 chứa trong từng tần số thuần túy einxe^{inx}. Vì các họa âm einxe^{inx} trực giao với nhau từng đôi một, các tần số khác nhau không giao thoa trong tổng năng lượng, nên phép biến đổi hàm từ miền thời gian sang miền tần số bảo toàn nguyên vẹn hình học L2L^2 của nó.

Phác thảo chứng minh

Đặt SNf(x)=∑n=−NNcneinxS_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{inx} là tổng riêng Fourier thứ NN. Sử dụng tính trực chuẩn 12π∫−ππeinxe−imx dx=δnm\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{inx} e^{-imx}\,dx = \delta_{nm}, khai triển sai số L2L^2 không âm cho ta 12π∫−ππ∣f(x)−SNf(x)∣2 dx=12π∫−ππ∣f(x)∣2 dx−∑n=−NN∣cn∣2≥0\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x) - S_N f(x)|^2\,dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx - \sum_{n=-N}^{N} |c_n|^2 \ge 0, từ đó suy ra ngay bất đẳng thức Bessel ∑n=−∞∞∣cn∣2≤∥f∥22\sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 \le \|f\|_2^2. Vì các đa thức lượng giác (thông qua trung bình Cesàro–Fejér σNf\sigma_N f) trù mật trong L2([−π,π])L^2([-\pi, \pi]), còn SNfS_N f là hình chiếu trực giao cực tiểu hóa khoảng cách L2L^2 tới ff trong các đa thức lượng giác bậc không quá NN, nên sai số ∥f−SNf∥22→0\|f - S_N f\|_2^2 \to 0 khi N→∞N \to \infty, biến bất đẳng thức Bessel thành đẳng thức Parseval.

Chủ đề chứa định lý này

Chuỗi FourierGiải tích điều hòaGiải tích hàm

Định lý liên quan

Định lý CarlesonBất đẳng thức Cauchy–SchwarzĐịnh lý phổ (ma trận đối xứng thực)

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

  1. Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003). Fourier Analysis: An Introduction
  2. Yitzhak Katznelson (2004). An Introduction to Harmonic Analysis · DOI:10.1017/CBO9781139165372