Luật số lớn yếu

Khi phương sai $\sigma^2 = \operatorname{Var}(X_1)$ hữu hạn, tính tuyến tính và tính độc lập cho $\mathbb{E}[\bar{X}_n] = \mu$ và $\operatorname{Var}(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}$. Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta được $\mathbb{P}(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\operatorname{Var}(\bar{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \to 0$ khi $n \to \infty$. Khi chỉ giả thiết $\mathbb{E}[|X_1|] < \infty$ (định lý Khinchin), ta cắt cụt ở mức $n$ bằng cách đặt $Y_{i} = X_i \mathbf{1}_{\{|X_i| \le n\}}$, dùng $\mathbb{E}[|X_1|] < \infty$ để chỉ ra $\mathbb{P}(\exists i \le n : X_i \ne Y_i) \le n\mathbb{P}(|X_1| > n) \to 0$, rồi áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho trung bình đã cắt cụt.