Đặc số Euler

Bỏ đi một mặt của khối đa diện lồi rồi kéo căng phần bề mặt còn lại trải phẳng ra mặt phẳng sẽ tạo thành một đồ thị phẳng liên thông mà các miền mặt bị chặn tương ứng với $F - 1$ mặt còn lại của đa diện, còn miền ngoài không bị chặn đại diện cho mặt đã bỏ đi.

Theo cách của Cauchy (1813), ta chiếu khối đa diện lên mặt phẳng thành một đồ thị phẳng liên thông có $V$ đỉnh, $E$ cạnh và $F$ mặt (kể cả mặt ngoài). Nếu đồ thị còn chứa chu trình, việc xóa một cạnh trên chu trình đó sẽ nhập hai mặt kề nhau làm một, làm cả $E$ lẫn $F$ giảm đi $1$ trong khi giữ nguyên $V$, do đó $V - E + F$ không đổi. Lặp lại cho tới khi không còn chu trình nào; đồ thị liên thông không chu trình thu được là một cây, có $F = 1$ (chỉ còn mặt ngoài) và thỏa mãn $E = V - 1$. Vì vậy $V - E + F = V - (V - 1) + 1 = 2$.

Định lý này biến đặc số Euler thành một 'dấu vân tay' tô pô hoàn chỉnh cho các đa tạp 2 chiều đóng (khi đã biết tính định hướng): để xác định một phép dán đa giác phức tạp tạo ra mặt nào, bạn chỉ cần tính $V - E + F$ và kiểm tra xem phép dán có đảo hướng hay không!

Tam giác phân mặt compact liên thông $S$ thành hữu hạn tam giác rồi dán chúng cạnh kề cạnh; cắt mặt đã tam giác phân dọc theo một cây khung của đồ thị đối ngẫu sẽ tạo ra một đa giác duy nhất $P$ có $2n$ cạnh biên có hướng, gộp thành $n$ cặp được đồng nhất. Lặp lại việc "khóa kéo" một cặp kề nhau dạng $a a^{-1}$ (loại bỏ một nếp gấp mà không ảnh hưởng đến mặt) và cắt-dán theo một đường chéo mỗi khi hai cạnh cùng nhãn bị tách rời, ta đưa $P$ về một trong hai dạng chuẩn tắc: từ định hướng được $a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} \cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}$, cho ra mặt $\Sigma_g$ có giống $g$; hoặc, nếu xuất hiện một cặp đảo hướng, dạng không định hướng được $c_1 c_1 \cdots c_k c_k$, cho ra $N_k$, tổng liên thông của $k$ mặt phẳng xạ ảnh.

Trong dạng chuẩn tắc định hướng được, cả $4g$ đỉnh của đa giác được dán vào một điểm duy nhất, nên $V = 1$; $4g$ cạnh biên ghép đôi thành $E = 2g$; và phần trong đa giác vẫn là một mặt, $F = 1$. Do đó $\chi(\Sigma_g) = V - E + F = 1 - 2g + 1 = 2 - 2g$. Trong dạng chuẩn tắc không định hướng được, cả $2k$ đỉnh lại gặp nhau tại một đỉnh ($V = 1$), $2k$ cạnh ghép thành $E = k$, và lại có $F = 1$, nên $\chi(N_k) = 1 - k + 1 = 2 - k$. Vì $g \mapsto 2 - 2g$ nghịch biến ngặt và $k \mapsto 2 - k$ nghịch biến ngặt trên các số nguyên không âm, mỗi ánh xạ đều đơn ánh; do đó biết $S$ có định hướng được hay không cùng với đặc số Euler $\chi(S)$ của nó sẽ xác định duy nhất $g$ hoặc $k$, và vì vậy xác định hoàn toàn kiểu đồng phôi của $S$.

Vế trái $\int_M K\,dA$ mang bản chất thuần túy hình học vi phân (thay đổi từ điểm này sang điểm khác khi bạn làm móp hay kéo giãn mặt), trong khi vế phải $2\pi\,\chi(M)$ lại là một số nguyên tô pô rời rạc nhân với $2\pi$. Nếu bạn ấn lõm một mặt cầu, vùng độ cong dương tăng lên bao nhiêu thì vùng yên ngựa có độ cong âm mới xuất hiện sẽ bù trừ bấy nhiêu, giữ cho tích phân toàn phần khóa chặt ở giá trị $4\pi$; còn trên mặt xuyến ($\chi = 0$), độ cong dương phía ngoài và độ cong âm phía trong luôn triệt tiêu nhau bằng $0$.

Chọn một tam giác phân trắc địa trơn của mặt đóng định hướng được $M$, có $V$ đỉnh, $E$ cạnh và $F$ mặt tam giác $T_1, \dots, T_F$, đủ mịn để mỗi tam giác nằm gọn trong một bản đồ tọa độ. Áp dụng định lý Green cho vectơ vị trí dọc theo biên của một tam giác nhỏ cho ta đẳng thức Gauss–Bonnet địa phương: với mỗi mặt $T_f$ có các góc trong $\alpha_{f,1}, \alpha_{f,2}, \alpha_{f,3}$ và độ cong trắc địa $\kappa_g$ dọc theo biên $\partial T_f$ của nó, $\displaystyle\iint_{T_f} K\,dA + \int_{\partial T_f} \kappa_g\,ds = (\alpha_{f,1}+\alpha_{f,2}+\alpha_{f,3}) - \pi$.

Cộng đẳng thức này trên cả $F$ tam giác, tích phân đường độ cong trắc địa dọc theo mỗi cạnh trong được lấy đúng hai lần, một lần từ mỗi tam giác kề, theo hai hướng ngược nhau, nên các số hạng biên này triệt tiêu hoàn toàn và $\displaystyle\iint_M K\,dA = \sum_{f=1}^F (\alpha_{f,1}+\alpha_{f,2}+\alpha_{f,3}) - F\pi$. Các góc quanh mỗi đỉnh trong số $V$ đỉnh cộng lại thành một vòng tròn đầy đủ, nên tổng tất cả các góc trong bằng $2\pi V$. Vì mỗi tam giác có $3$ cạnh và mỗi cạnh thuộc về đúng $2$ tam giác, $3F = 2E$, tức $F\pi = (2E - 2F)\pi$. Thay cả hai điều này vào đẳng thức đã cộng cho ta $\displaystyle\iint_M K\,dA = 2\pi V - 2\pi E + 2\pi F = 2\pi(V-E+F) = 2\pi\,\chi(M)$.

Điều này giải thích vì sao trường gió thổi liên tục trên Trái Đất ($S^2$, $\chi = 2$) luôn phải có ít nhất một tâm lặng gió (một xoáy thuận hoặc xoáy nghịch với tổng chỉ số bằng $2$), trong khi một mặt xuyến ($T^2$, $\chi = 0$) lại có thể được chải phẳng hoàn toàn bởi một trường vectơ không triệt tiêu ở đâu chạy dọc theo các đường kinh tuyến của nó!

Để chứng minh công thức chỉ số Poincaré–Hopf $\sum_{v(p)=0} \operatorname{ind}_p(v) = \chi(M)$, ta thay $v$ bằng một trường vectơ đồng luân với nó, xây dựng từ một hàm Morse trên một tam giác phân mịn của $M$: một nguồn có chỉ số $+1$ tại mỗi đỉnh trong $V$ đỉnh, một điểm yên ngựa có chỉ số $-1$ tại trung điểm mỗi cạnh trong $E$ cạnh, và một bồn hút có chỉ số $+1$ tại tâm mỗi mặt trong $F$ mặt. Vì chỉ số của một trường vectơ hạn chế trên biên một hình tròn nhỏ quanh mỗi không điểm là bất biến đồng luân, và $v$ có thể biến dạng liên tục thành trường tế bào chuẩn tắc này mà không bao giờ triệt tiêu bên ngoài các hình tròn đã tính, nên tổng các chỉ số của $v$ bằng tổng các chỉ số của trường chuẩn tắc.

Cộng các chỉ số chuẩn tắc lại cho $V(+1) + E(-1) + F(+1) = V - E + F = \chi(M)$, nên $\sum_{v(p)=0} \operatorname{ind}_p(v) = \chi(M)$ đúng với mọi mặt đóng $M$. Áp dụng riêng cho mặt cầu, $\chi(S^2) = 2 \neq 0$. Nếu một trường vectơ tiếp xúc liên tục trên $S^2$ không có không điểm nào, vế trái của công thức chỉ số sẽ là tổng rỗng $0$, mâu thuẫn với $\chi(S^2) = 2$. Do đó mọi trường vectơ tiếp xúc liên tục trên $S^2$ đều phải triệt tiêu tại một điểm $p \in S^2$ nào đó — bạn không thể chải phẳng một quả bóng lông mà không để lại xoáy.