Định lý Gauss–Bonnet

Phát biểu

Với mọi đa tạp Riemann hai chiều compact $M$ có biên trơn từng khúc $\partial M$, độ cong Gauss $K$, độ cong trắc địa $k_g$ dọc theo $\partial M$, các góc quay ngoài $\theta_i$ tại các đỉnh và đặc số Euler $\chi(M)$, ta có $\int_M K\,dA + \int_{\partial M} k_g\,ds + \sum_i \theta_i = 2\pi\chi(M)$. Đặc biệt, nếu $M$ là mặt đóng không biên ($\partial M = \varnothing$) thì $\int_M K\,dA = 2\pi\chi(M)$.

Vì sao đúng?

Trên một mặt cong $M$, tổng ba góc trong của một tam giác trắc địa $\triangle$ lệch khỏi $\pi$ đúng bằng tích phân $\int_\triangle K\,dA$ của độ cong Gauss bên trong nó: độ cong dương ($K > 0$, như trên mặt cầu) làm phồng tam giác khiến tổng góc lớn hơn $\pi$, còn độ cong âm ($K < 0$) bóp nhỏ tổng góc xuống dưới $\pi$. Khi tam giác hóa toàn bộ mặt đóng $M$ và cộng độ lệch góc trên tất cả các tam giác, các góc quanh mỗi đỉnh cộng lại bằng $2\pi$ và mọi chi tiết mêtric cục bộ triệt tiêu hoàn toàn, chỉ còn lại $2\pi(V - E + F) = 2\pi\chi(M)$ — vì vậy dù làm móp hay kéo giãn mặt thế nào, độ cong toàn phần $\int_M K\,dA$ vẫn bị khóa chặt vào đặc số Euler tô pô $\chi(M)$.

Chủ đề chứa định lý này

Định lý liên quan

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.