Định lýĐã chứng minh

Khả vi suy ra liên tục

Phát biểu

Nếu $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ khả vi tại $x_0\in(a,b)$ , thì $f$ liên tục tại $x_0$ .

Vì sao đúng?

Một đường cong có độ dốc tiếp tuyến xác định tại một điểm thì không thể có bước nhảy tại điểm đó: tính khả vi là một yêu cầu chặt chẽ hơn tính liên tục, và chiều ngược lại không đúng, như góc nhọn của f(x)=|x| tại x=0 cho thấy - liên tục ở đó, nhưng không khả vi.

Phác thảo chứng minh

Với $x\neq x_0$ gần $x_0$ , viết $f(x)-f(x_0) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot(x-x_0)$ . Khi $x\to x_0$ , thừa số thứ nhất tiến tới số hữu hạn $f'(x_0)$ (theo định nghĩa của tính khả vi), và thừa số thứ hai tiến tới $0$ ; tích của một đại lượng hội tụ tới một giới hạn hữu hạn và một đại lượng hội tụ tới $0$ thì tiến tới $0$ , vậy $f(x)-f(x_0)\to 0$ , tức $f$ liên tục tại $x_0$ .

Người chứng minh

chứng minh năm 1823Augustin-Louis Cauchy

Chủ đề chứa định lý này

Đạo hàm

Định lý liên quan

Quy tắc dây chuyền (đạo hàm hàm hợp)Quy tắc đạo hàm của tích

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Augustin-Louis Cauchy (1823). Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal
Walter Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis