Lớp 11

Đạo hàm

Đạo hàm đo tốc độ thay đổi của một đại lượng tại một thời điểm duy nhất, được xây dựng từ giới hạn của tốc độ thay đổi trung bình trên những khoảng ngày càng nhỏ. Nó cho hệ số góc của tiếp tuyến, vận tốc tức thời của một vật chuyển động, và — nhờ một vài quy tắc đại số — một cách để lấy đạo hàm cho hầu hết mọi hàm số dựng từ các hàm sơ cấp.

Trực giácTừ tốc độ trung bình đến tốc độ tức thời

Đồng hồ tốc độ của ô tô báo tốc độ nó đang chạy ngay lúc này, chứ không phải tốc độ trung bình của cả chuyến đi. Nếu một đại lượng được mô tả bởi hàm số $y=f(x)$ , tốc độ thay đổi trung bình giữa $x_0$ và $x_0+h$ là hệ số góc của đường thẳng nối hai điểm (cát tuyến) $(x_0, f(x_0))$ và $(x_0+h, f(x_0+h))$ : $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ . Tỷ số này phụ thuộc vào bước nhảy $h$ lớn hay nhỏ. Để nắm được tốc độ thay đổi tại đúng một thời điểm $x_0$ , hãy thu nhỏ bước nhảy: cho $h \to 0$ và quan sát cát tuyến xoay quanh $(x_0, f(x_0))$ cho tới khi nó ổn định thành tiếp tuyến — xấp xỉ đường thẳng tốt nhất cho đường cong tại điểm đó.

Cát tuyến qua

(x_0, f(x_0))

và

(x_0+h, f(x_0+h))

khi bước nhảy

h

thu nhỏ dần. Kéo

h

về

0

để thấy cát tuyến xoay dần thành tiếp tuyến tại

x_0

; hệ số góc của nó là

\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \to f'(x_0)

Phổ thôngĐịnh nghĩa đạo hàm bằng giới hạn

Định nghĩa: Đạo hàm tại một điểm

Cho $f$ là hàm số xác định trên một khoảng mở chứa $x_0$ . **Đạo hàm của $f$ tại $x_0$ **, ký hiệu $f'(x_0)$ , là giới hạn của tỷ sai phân khi bước nhảy tiến về không: $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ , tương đương $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ . Khi giới hạn này tồn tại (và hữu hạn), ta nói $f$ khả vi tại $x_0$ . Các ký hiệu thông dụng khác của đạo hàm gồm $y'$ , $\dfrac{dy}{dx}$ , và $\dfrac{df}{dx}(x_0)$ .

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Ý nghĩa hình học. Vì tiếp tuyến tại $x_0$ là giới hạn của các cát tuyến, hệ số góc của nó chính là $f'(x_0)$ . Do đó tiếp tuyến có phương trình $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ — xấp xỉ tuyến tính tốt nhất cho đồ thị $f$ gần $x_0$ . Tiếp tuyến nằm ngang ( $f'(x_0)=0$ ) đánh dấu điểm mà đường cong tạm thời phẳng, chẳng hạn tại một cực trị địa phương.

y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

Ý nghĩa vật lý. Nếu $s(t)$ là vị trí của một vật tại thời điểm $t$ , tốc độ thay đổi trung bình $\dfrac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}$ là vận tốc trung bình trên $[t_0, t_0+h]$ , và giới hạn của nó $v(t_0)=s'(t_0)$ là vận tốc tức thời tại $t_0$ . Lấy đạo hàm thêm một lần nữa cho gia tốc $a(t) = v'(t) = s''(t)$ , đạo hàm cấp hai của vị trí — tốc độ mà bản thân vận tốc đang thay đổi.

Định lý: Khả vi suy ra liên tục

Nếu $f$ khả vi tại $x_0$ thì $f$ liên tục tại $x_0$ .

Vì sao đúng?

Một đường cong có hệ số góc tiếp tuyến xác định tại $x_0$ thì không thể có bước nhảy ở đó: viết $f(x)-f(x_0) = \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \cdot (x-x_0)$ ; khi $x \to x_0$ , thừa số thứ nhất tiến tới số hữu hạn $f'(x_0)$ còn thừa số thứ hai tiến tới $0$ , nên tích tiến tới $0$ và $f(x) \to f(x_0)$ .

Chứng minh

Đây chính là lập luận ở trên: giới hạn của một tích bằng tích của các giới hạn khi cả hai đều tồn tại, và theo giả thiết $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$ hữu hạn còn $\lim_{x\to x_0}(x-x_0)=0$ .

Chiều ngược lại là sai: liên tục không suy ra khả vi. Phản ví dụ kinh điển là $f(x) = |x|$ tại $x_0 = 0$ . Hàm này liên tục ở đó, nhưng tỷ sai phân $\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} = \dfrac{|h|}{h}$ bằng $1$ khi $h>0$ và bằng $-1$ khi $h<0$ , nên giới hạn trái và giới hạn phải không bằng nhau và $f'(0)$ không tồn tại — đồ thị có một góc nhọn, không có một hệ số góc tiếp tuyến xác định duy nhất.

Đại họcCác quy tắc tính đạo hàm

Các quy tắc đạo hàm cơ bản
Quy tắc	Biểu thức	Điều kiện / ghi chú
Hằng số nhân với hàm	$(cf)' = c f'$	$c$ là hằng số
Tổng, hiệu	$(f \pm g)' = f' \pm g'$	$f, g$ khả vi
Đạo hàm lũy thừa	$(x^n)' = n x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$ , $x$ trong tập xác định
Đạo hàm của tích	$(fg)' = f'g + fg'$	$f, g$ khả vi tại $x$
Đạo hàm của thương	$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$	$g(x) \neq 0$
Đạo hàm hàm hợp	$(f \circ g)'(x) = f'(g(x))\, g'(x)$	$g$ khả vi tại $x$ , $f$ khả vi tại $g(x)$

Định lý: Quy tắc đạo hàm của tích

Nếu $f, g$ khả vi tại $x$ thì $fg$ khả vi tại $x$ và $(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ .

Vì sao đúng?

Hãy hình dung $f(x)g(x)$ là diện tích một hình chữ nhật có chiều rộng $f(x)$ và chiều cao $g(x)$ . Khi $x$ thay đổi, cả hai cạnh cùng thay đổi, nên diện tích hình chữ nhật biến đổi vì hai lý do cùng lúc: chiều rộng tăng với tốc độ $f'(x)$ trong khi chiều cao vẫn là $g(x)$ , đóng góp $f'(x)g(x)$ ; và chiều cao tăng với tốc độ $g'(x)$ trong khi chiều rộng vẫn là $f(x)$ , đóng góp $f(x)g'(x)$ . Một sai lầm hay gặp là đoán $(fg)' = f'g'$ , nhưng cách đó bỏ hoàn toàn hai đóng góp riêng biệt này.

Chứng minh

Viết $\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$ và thêm vào tử số $-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)$ để tách thành $f(x+h)\cdot\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} + \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x)$ . Khi $h \to 0$ , tỷ sai phân thứ nhất tiến tới $g'(x)$ và $f(x+h) \to f(x)$ do tính liên tục, còn tỷ sai phân thứ hai tiến tới $f'(x)$ ; tổng tiến tới $f(x)g'(x) + f'(x)g(x)$ .

Định lý: Quy tắc dây chuyền (đạo hàm hàm hợp)

Nếu $g$ khả vi tại $x$ và $f$ khả vi tại $g(x)$ thì $f \circ g$ khả vi tại $x$ và $(f \circ g)'(x) = f'(g(x))\, g'(x)$ .

Vì sao đúng?

Các tốc độ thay đổi kết hợp bằng cách nhân: nếu $y=f(u)$ thay đổi nhanh gấp đôi $u$ (tức $f'=2$ ), và $u=g(x)$ thay đổi nhanh gấp ba lần $x$ (tức $g'=3$ ), thì với một bước nhỏ theo $x$ , $u$ dịch chuyển gấp $3$ lần, rồi $y$ dịch chuyển gấp $2$ lần độ dịch chuyển của $u$ — nên $y$ dịch chuyển gấp $2 \times 3 = 6$ lần so với $x$ . Một sai lầm rất hay gặp là quên đạo hàm của hàm bên trong $g'(x)$ : $\dfrac{d}{dx}\sin(x^2) \neq \cos(x^2)$ ; đạo hàm đúng là $2x\cos(x^2)$ .

Chứng minh

Vì $f$ khả vi tại $g(x)$ , viết $f(g(x)+k) - f(g(x)) = [f'(g(x)) + \varepsilon(k)]\,k$ với $k$ gần $0$ , trong đó $\varepsilon(k) \to 0$ khi $k \to 0$ . Thay $k = g(x+h)-g(x)$ , tiến tới $0$ khi $h \to 0$ do tính liên tục của $g$ , rồi chia cho $h$ ta được $\dfrac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} = [f'(g(x))+\varepsilon(k)]\cdot\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \to f'(g(x))\,g'(x)$ .

y = f(x) = x^3 - 3x

, với

f'(x) = 3x^2 - 3

. Cực đại và cực tiểu được đánh dấu nằm đúng tại nơi

f'(x)=0

, tức

x=\pm 1

: đường cong đi lên khi

f'(x)>0

(ngoài

[-1,1]

) và đi xuống khi

f'(x)<0

(trong

[-1,1]

). Điểm uốn được đánh dấu tại

x=0

là nơi

f''(x)=6x

đổi dấu, tức nơi đường cong chuyển từ lõm xuống sang lõm lên.

Ví dụ: Tính đạo hàm của một tích

Tìm $f'(x)$ với $f(x) = x^2 \sin x$ .

Lời giải

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích với $u(x) = x^2$ và $v(x) = \sin x$ : $u'(x) = 2x$ và $v'(x) = \cos x$ , nên $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$ .

Ví dụ

Một quả bóng được ném thẳng đứng từ mặt đất. Độ cao tính bằng mét là $h(t) = 20t - 5t^2$ . (a) Tìm vận tốc tức thời $v(t) = h'(t)$ . (b) Bóng đạt độ cao cực đại khi nào? (c) Vận tốc tại $t = 1$ s là bao nhiêu?

Lời giải

**Bước 1 — Lấy đạo hàm $h(t) = 20t - 5t^2$ bằng quy tắc lũy thừa.** Lấy đạo hàm từng số hạng: $(20t)' = 20$ và $(5t^2)' = 10t$ , ta được $v(t) = h'(t) = 20 - 10t$ .

Bước 2 — Tìm thời điểm đạt độ cao cực đại. Tại đỉnh quỹ đạo, bóng tạm dừng nên $v(t) = 0$ : $20 - 10t = 0 \Rightarrow t = 2$ s. Đạo hàm cấp hai $h''(t) = -10 < 0$ xác nhận đây là cực đại.

**Bước 3 — Tính vận tốc tại $t = 1$ s.** Thay vào công thức vận tốc: $v(1) = 20 - 10(1) = 10$ m/s hướng lên. Bóng vẫn đang bay lên tại $t = 1$ s, nhất quán với việc đạt đỉnh tại $t = 2$ s.

Lỗi hay gặp. Hai sai lầm kinh điển khi tính đạo hàm. (1) Nhân các đạo hàm với nhau thay vì dùng quy tắc tích/thương. Nói chung

(fg)' \neq f'g'

và

\left(\dfrac{f}{g}\right)' \neq \dfrac{f'}{g'}

: với

f=g=x

(fg)' = (x^2)' = 2x

, nhưng

f'g' = 1 \cdot 1 = 1

. (2) Quên đạo hàm của hàm bên trong trong quy tắc dây chuyền.

\dfrac{d}{dx}\sin(x^2) \neq \cos(x^2)

; đạo hàm đúng là

\dfrac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x

, vì hàm bên trong

x^2

cũng phải được lấy đạo hàm.

Ghi chú lịch sử

Cuối thế kỷ 17, Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz độc lập phát triển phép tính đạo hàm, nhưng mô tả nó bằng những ngôn ngữ khác hẳn nhau: Newton nói về thông lượng (fluxion) $\dot{x}$ , tốc độ tức thời mà một đại lượng biến thiên đang "chảy", còn Leibniz đưa ra ký hiệu $\dfrac{dy}{dx}$ như tỷ số của các sai phân vô cùng bé — ký hiệu vẫn được dùng cho tới ngày nay. Những người theo hai ông đã tranh cãi hàng chục năm về quyền ưu tiên phát minh và về ý nghĩa thực sự của một đại lượng "vô cùng bé". Phải hơn một thế kỷ sau mới giải quyết được: năm 1823, Augustin-Louis Cauchy thay thế các đại lượng vô cùng bé bằng định nghĩa giới hạn $\varepsilon$ – $\delta$ chặt chẽ như trên, cuối cùng đặt đạo hàm trên một nền tảng logic vững chắc.

Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Augustin-Louis Cauchy

Nâng caoĐạo hàm cấp cao và những bước tiếp theo

Mọi điều ở trên đều dựa trên giới hạn của hàm số, nên nắm chắc giới hạn là kiến thức nền cần có trước khi học đạo hàm. Lấy đạo hàm của chính $f'$ cho đạo hàm cấp hai $f''=(f')'$ (gia tốc, độ cong), và lặp lại quá trình này cho $f^{(n)}$ , đạo hàm cấp $n$ ; một hàm số có các đạo hàm liên tục tới cấp $k$ được gọi là hàm $C^k$ , và $C^\infty$ nếu có đạo hàm ở mọi cấp. Từ đây mở ra hai hướng: đọc hình dạng của hàm số — nơi nó tăng, có cực trị, hay lồi lõm — trực tiếp từ dấu của $f'$ và $f''$ (xem ứng dụng của đạo hàm), và chạy ngược quá trình: cho $f'$ , khôi phục lại $f$ chính là bài toán nguyên hàm, cánh cửa dẫn vào phép tính tích phân.

Nghiên cứuĐạo hàm ở biên giới nghiên cứu hiện đại

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, ba hướng nghiên cứu sôi động đang mở rộng phép lấy đạo hàm ra xa khỏi việc tính tay. (1) Vi phân tự động (AD). Học máy hiện đại huấn luyện các mạng nơ-ron với hàng triệu hay hàng tỷ tham số bằng cách áp dụng máy móc quy tắc dây chuyền lên chuỗi các phép toán sơ cấp mà một chương trình thực hiện; AD chiều ngược (reverse-mode), trong bối cảnh này gọi là lan truyền ngược (backpropagation), tính chính xác gradient của hàm mất mát của mạng trong khoảng thời gian xấp xỉ một lượt tính xuôi, và được cài đặt trong các khung lập trình khả vi như PyTorch và JAX (xem khảo sát năm 2018 của Baydin, Pearlmutter, Radul và Siskind). (2) Lấy đạo hàm qua các hàm không trơn. Các thành phần như $\mathrm{ReLU}(x)=\max(x,0)$ không khả vi ở mọi điểm, thế nhưng AD vẫn được áp dụng thường xuyên lên chúng; gradient tổng quát hóa của Clarke (1975) và công trình gần đây của Bolte và Pauwels (2020) đưa ra một nền tảng toán học chặt chẽ — một trường bảo toàn (conservative field) — giải thích khi nào và vì sao vi phân tự động vẫn cho ra những hướng có ý nghĩa toán học, dùng được cho các chương trình không trơn như vậy. (3) Đạo hàm bậc phân số. Các toán tử Riemann–Liouville và Caputo tổng quát hóa $f^{(n)}$ thành đạo hàm bậc thực (hay phức) tùy ý $\alpha$ , một công cụ đang được nghiên cứu tích cực để mô hình hóa khuếch tán bất thường và vật liệu nhớt-đàn hồi có hiệu ứng nhớ mà đạo hàm bậc nguyên thông thường không nắm bắt được.

Dùng định nghĩa giới hạn, $f'(3)$ của $f(x) = x^2$ bằng bao nhiêu?

Vì sao $f(x) = |x|$ liên tục nhưng không khả vi tại $x=0$ ?

Theo quy tắc dây chuyền, đạo hàm của $y = \sin(2x^2)$ là gì?

Một chất điểm chuyển động trên một đường thẳng với vị trí $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ (mét), $t \ge 0$ tính bằng giây. Tại thời điểm nào gia tốc của nó bằng không?

Tài liệu tham khảo

Michael Spivak (2008). Calculus
James Stewart (2015). Calculus: Early Transcendentals
Augustin-Louis Cauchy (1823). Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal
Atilim Gunes Baydin, Barak A. Pearlmutter, Alexey Andreyevich Radul, Jeffrey Mark Siskind (2018). Automatic Differentiation in Machine Learning: a Survey