Định lýĐã chứng minh

Định lý Dirichlet về số nguyên tố trong cấp số cộng

Phát biểu

Nếu $a$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, thì cấp số cộng $a,\ a+n,\ a+2n,\dots$ chứa vô hạn số nguyên tố.

Vì sao đúng?

Miễn là một lớp thặng dư theo mô đun $n$ không tự động bị loại trừ (tức $\gcd(a,n)=1$ ), số nguyên tố trải đều đủ trên các lớp thặng dư sao cho mỗi lớp hợp lệ đều nhận được vô hạn số nguyên tố — không lớp thặng dư nguyên tố cùng nhau nào lại 'không có số nguyên tố'.

Phác thảo chứng minh

Đưa vào các ký tự Dirichlet $\chi$ theo mô đun $n$ và các hàm L tương ứng $L(s,\chi)=\sum_k \chi(k)k^{-s}$ . Chứng minh $L(1,\chi)\ne0$ với mọi ký tự không chính $\chi$ . Kết hợp, nhờ tính trực giao của các ký tự, sự phân kỳ của $\sum_p p^{-s}$ (từ ký tự chính) với tính hữu hạn của $\log L(s,\chi)$ gần $s=1$ với $\chi$ không chính, để tách riêng lớp thặng dư $a$ và chỉ ra $\sum_{p\equiv a\,(n)} 1/p$ phân kỳ — buộc phải có vô hạn số nguyên tố như vậy.

Người phát biểu

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Chủ đề chứa định lý này

Định lý số nguyên tố

Định lý liên quan

Công thức tích Euler cho hàm zeta ζ(s)Định lý số nguyên tố

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1837). Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält
Tom M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory · DOI:10.1007/978-1-4757-5579-4