Định lýĐã chứng minh

Định lý số nguyên tố

Phát biểu

Gọi $\pi(x)$ là số các số nguyên tố không vượt quá $x$ . Khi đó $\pi(x) \sim \dfrac{x}{\ln x}$ khi $x\to\infty$ , tức $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)\ln x}{x} = 1$ .

Vì sao đúng?

Gần một số lớn $x$ , một số nguyên chọn ngẫu nhiên có xác suất khoảng $1/\ln x$ là số nguyên tố — số nguyên tố thưa dần theo lôgarit khi số tăng lên, chứ không theo một tốc độ đơn giản hơn như đa thức.

Phác thảo chứng minh

Liên hệ $\pi(x)$ với tính chất giải tích phức của hàm zeta Riemann $\zeta(s)=\sum n^{-s}$ qua tích Euler của nó trên các số nguyên tố. Đầu vào giải tích then chốt, được Hadamard và de la Vallée Poussin thiết lập độc lập nhau, là $\zeta(s)$ không có không điểm nào trên đường thẳng $\mathrm{Re}(s)=1$ . Một lập luận kiểu Tauber sau đó chuyển miền không có không điểm này thành tiệm cận $\pi(x)\sim x/\ln x$ .

Người phát biểu

nêu năm 1792Carl Friedrich Gauss

Chủ đề chứa định lý này

Định lý số nguyên tố Hàm zeta Riemann và giả thuyết Riemann

Định lý liên quan

Vô hạn số nguyên tố (Euclid)Công thức tích Euler cho hàm zeta ζ(s)Định lý Dirichlet về số nguyên tố trong cấp số cộng

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Jacques Hadamard (1896). Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques
Tom M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory · DOI:10.1007/978-1-4757-5579-4