Định lýĐã chứng minh

Công thức tích Euler cho hàm zeta ζ(s)

Phát biểu

Với $\mathrm{Re}(s)>1$ , hàm zeta Riemann thỏa $\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}$ , tích lấy trên mọi số nguyên tố $p$ .

Vì sao đúng?

Vì mọi số nguyên dương đều phân tích duy nhất ra thừa số nguyên tố, lấy tổng $1/n^s$ trên mọi $n$ cũng giống như chọn độc lập, với mỗi số nguyên tố, số lần nó xuất hiện trong $n$ — đúng là điều mà chuỗi hình học $\sum_{k\ge0} p^{-ks} = (1-p^{-s})^{-1}$ mã hóa cho từng số nguyên tố.

Phác thảo chứng minh

Khai triển mỗi thừa số $(1-p^{-s})^{-1}=\sum_{k\ge0}p^{-ks}$ thành chuỗi hình học (đúng khi $\mathrm{Re}(s)>1$ ). Nhân các chuỗi này trên mọi số nguyên tố $p\le N$ và dùng tính duy nhất của phân tích thừa số, mỗi số nguyên $n\le N$ xuất hiện đúng một lần dưới dạng số hạng $n^{-s}$ trong khai triển; các số hạng còn lại (từ các số nguyên có thừa số nguyên tố $>N$ , hoặc tích vượt quá $N$ ) tạo thành phần đuôi triệt tiêu khi $N\to\infty$ , cho ra $\zeta(s)=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$ .

Người phát biểu

Leonhard Euler

Người chứng minh

chứng minh năm 1737Leonhard Euler

Chủ đề chứa định lý này

Hàm zeta Riemann và giả thuyết Riemann

Định lý liên quan

Vô hạn số nguyên tố (Euclid)Định lý số nguyên tố Định lý Dirichlet về số nguyên tố trong cấp số cộng

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Leonhard Euler (1737). Variae observationes circa series infinitas
Tom M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory · DOI:10.1007/978-1-4757-5579-4