Định lýĐã chứng minh

Định lý cơ bản của số học

Phát biểu

Mọi số nguyên $n>1$ đều viết được thành tích các số nguyên tố, $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ , và cách phân tích này là duy nhất, không kể thứ tự các thừa số.

Vì sao đúng?

Số nguyên tố là các 'nguyên tử' bất khả chia của phép nhân. Sự tồn tại phân tích suy ra từ việc liên tục tách ra ước nguyên tố nhỏ nhất; tính duy nhất suy ra từ việc một số nguyên tố chia hết một tích thì phải chia hết một trong các thừa số (bổ đề Euclid), điều này loại trừ khả năng có hai phân tích thực sự khác nhau cho cùng một số.

Phác thảo chứng minh

Tồn tại: quy nạp mạnh theo $n$ — mọi $n>1$ hoặc là số nguyên tố, hoặc là tích của hai số nguyên nhỏ hơn $>1$ , mỗi số này phân tích được ra thừa số nguyên tố theo giả thiết quy nạp. Duy nhất: từ bổ đề Euclid ( $p\mid ab\Rightarrow p\mid a$ hoặc $p\mid b$ , vốn suy ra từ đẳng thức Bézout), liên tục khử các số nguyên tố trùng nhau từ hai phân tích giả định của cùng $n$ cho tới khi cả hai vế cạn hết, buộc chúng phải trùng nhau.

Người phát biểu

nêu năm -300Euclid xứ Alexandria

Người chứng minh

chứng minh năm 1801Carl Friedrich Gauss

Chủ đề chứa định lý này

Số nguyên tố Chia hết, ước và bội Hàm zeta Riemann và giả thuyết Riemann

Định lý liên quan

Vô hạn số nguyên tố (Euclid)Đẳng thức Bézout

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Carl Friedrich Gauss (trans. Arthur A. Clarke) (1986). Disquisitiones Arithmeticae
G. H. Hardy, E. M. Wright (2008). An Introduction to the Theory of Numbers · DOI:10.1093/oso/9780199219858.001.0001