定理已证明

算术基本定理

命题陈述

任意整数 $n>1$ 都可以写成素数的乘积 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ ,且这种分解在不计因数顺序的意义下是唯一的。

为什么成立?

素数是乘法中不可再分的“原子”。存在性可通过不断分离出最小素因子得到;唯一性则来自一个事实:若素数整除某乘积,则它必整除其中某个因子(欧几里得引理),这排除了同一个数存在两种真正不同分解的可能。

证明思路

存在性:对 $n$ 作强归纳——任意 $n>1$ 要么是素数,要么是两个均 $>1$ 的更小整数之积,由归纳假设它们都能分解为素数之积。唯一性:利用欧几里得引理( $p\mid ab\Rightarrow p\mid a$ 或 $p\mid b$ ,该引理本身由贝祖等式导出),从同一个 $n$ 的两个假设分解中不断消去相同的素数,直到两边都消尽,从而迫使两个分解一致。

提出者

-300 年提出亚历山大里亚的欧几里得

证明者

1801 年证明卡尔·弗里德里希·高斯

用到此定理的主题

质数整除、因数与倍数黎曼ζ函数与黎曼猜想

参考文献

Carl Friedrich Gauss (trans. Arthur A. Clarke) (1986). Disquisitiones Arithmeticae
G. H. Hardy, E. M. Wright (2008). An Introduction to the Theory of Numbers · DOI:10.1093/oso/9780199219858.001.0001