素数的无穷性(欧几里得)

给定任意有限素数列表 $p_1,\dots,p_n$,令 $N=p_1p_2\cdots p_n+1$。任何 $p_i$ 都不能整除 $N$(用 $p_i$ 去除总余 $1$)。由算术基本定理,$N$ 有某个素因子 $q$;由于 $q\ne p_i$ 对每个 $i$ 都成立,所以 $q$ 是原列表中没有的素数。因此没有任何有限列表能包含所有素数。