Math Labs
Công thứcĐã chứng minh

Công thức Heron

Phát biểu

Diện tích SS của tam giác có độ dài ba cạnh aa, bb, cc và nửa chu vi s=a+b+c2s = \dfrac{a + b + c}{2} được cho bởi công thức S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.

Vì sao đúng?

Ba độ dài cạnh aa, bb, cc xác định duy nhất một tam giác cứng sai khác phép dời hình, nên diện tích SS của nó phải được quyết định hoàn toàn bởi aa, bb và cc mà không cần đo chiều cao. Mỗi thừa số s−a=b+c−a2s - a = \dfrac{b + c - a}{2} đo độ dư của bất đẳng thức tam giác b+c>ab + c > a: khi một cạnh tiến dần tới tổng hai cạnh kia, thừa số tương ứng s−as - a co về 00 và tam giác dẹt thành một đoạn thẳng suy biến có diện tích bằng 00.

Phác thảo chứng minh

Kết hợp công thức diện tích S=12absin⁡γS = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma với định lý cosin cos⁡γ=a2+b2−c22ab\cos\gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}: bình phương và dùng sin⁡2γ=(1−cos⁡γ)(1+cos⁡γ)\sin^2\gamma = (1 - \cos\gamma)(1 + \cos\gamma) cho ta 16S2=4a2b2−(a2+b2−c2)2=(c2−(a−b)2)((a+b)2−c2)16S^2 = 4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 = (c^2 - (a - b)^2)((a + b)^2 - c^2). Phân tích hai hiệu bình phương thành nhân tử thu được 16S2=(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)=16s(s−a)(s−b)(s−c)16S^2 = (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) = 16s(s - a)(s - b)(s - c), rồi lấy căn bậc hai hai vế ta được S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.

Chủ đề chứa định lý này

Tam giác và các đường đặc biệt

Định lý liên quan

Định lý cosinĐịnh lý Pythagoras

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

  1. Thomas L. Heath (1921). A History of Greek Mathematics, Vol. 2: From Aristarchus to Diophantus
  2. H. S. M. Coxeter (1969). Introduction to Geometry · DOI:10.1088/0031-9112/13/7/027