海伦公式

将面积公式 $S = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ 与余弦定理 $\cos\gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ 结合：平方并利用 $\sin^2\gamma = (1 - \cos\gamma)(1 + \cos\gamma)$，可得 $16S^2 = 4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 = (c^2 - (a - b)^2)((a + b)^2 - c^2)$。对两个平方差继续因式分解即得 $16S^2 = (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) = 16s(s - a)(s - b)(s - c)$，两边开平方即得 $S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$。