Công thứcĐã chứng minh

Công thức thể tích và diện tích mặt cầu (Archimedes)

Phát biểu

Hình cầu bán kính $r$ có thể tích $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ và diện tích mặt cầu $A = 4\pi r^2$ ; cả hai đều bằng $\dfrac{2}{3}$ thể tích $2\pi r^3$ và diện tích toàn phần $6\pi r^2$ của hình trụ tròn xoay ngoại tiếp có bán kính đáy $r$ và chiều cao $2r$ .

Vì sao đúng?

Cắt một bán cầu bán kính $r$ và một hình trụ tròn xoay bán kính đáy $r$ , chiều cao $r$ đã khoét rỗng một hình nón ngược bán kính đáy $r$ , chiều cao $r$ bằng một mặt phẳng nằm ngang ở độ cao $z$ tính từ đáy. Theo định lý Pythagoras, thiết diện hình tròn của bán cầu có bán kính $\sqrt{r^2 - z^2}$ và diện tích $\pi(r^2 - z^2)$ , bằng hệt diện tích $\pi r^2 - \pi z^2$ của thiết diện hình vành khăn bên hình trụ khoét rỗng. Vì mọi lát cắt ngang đều có cùng diện tích nên bán cầu có thể tích $\pi r^3 - \dfrac{1}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3$ , suy ra cả hình cầu có thể tích $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ .

Phác thảo chứng minh

Ở độ cao $z \in [-r, r]$ , mặt phẳng vuông góc với trục cắt hình cầu bán kính $r$ theo một hình tròn bán kính $\sqrt{r^2 - z^2}$ có diện tích $S(z) = \pi(r^2 - z^2)$ . So sánh lát cắt này theo nguyên lý Cavalieri với hình trụ bán kính $r$ , chiều cao $2r$ đã khoét bỏ hai hình nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $r$ (hoặc tính tích phân $\int_{-r}^{r} \pi(r^2 - z^2)\,dz$ ) cho ta $V = 2\pi r^3 - 2\cdot\dfrac{1}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ . Chia nhỏ hình cầu thành các hình chóp mảnh chiều cao $r$ có đáy lát kín mặt cầu diện tích $A$ cho $V = \dfrac{1}{3}Ar$ , từ đó $A = \dfrac{3V}{r} = 4\pi r^2$ .

Người phát biểu

nêu năm -225Archimedes xứ Syracuse

Người chứng minh

chứng minh năm -225Archimedes xứ Syracuse

Chủ đề chứa định lý này

Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Toán học cổ đại

Định lý liên quan

Nguyên lý Cavalieri Định lý Pythagoras

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Archimedes (translated by Thomas L. Heath) (1897). The Works of Archimedes (On the Sphere and Cylinder, Book I, Propositions 33–34)
Reviel Netz, William Noel (2007). The Archimedes Codex