Định lýĐã chứng minh

Định lý Pythagoras

Phát biểu

Trong mọi tam giác vuông có hai cạnh góc vuông độ dài $a$ , $b$ và cạnh huyền độ dài $c$ , ta có $a^2 + b^2 = c^2$ . Ngược lại, nếu độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn $a^2 + b^2 = c^2$ thì góc đối diện với cạnh có độ dài $c$ là góc vuông.

Vì sao đúng?

Dựng một hình vuông trên mỗi cạnh của tam giác vuông: diện tích của chúng lần lượt là $a^2$ , $b^2$ và $c^2$ . Nếu xếp bốn bản sao của tam giác vuông đó vào trong một hình vuông lớn cạnh $a + b$ , phần diện tích còn trống có thể ghép thành một hình vuông nghiêng diện tích $c^2$ , hoặc sau khi trượt bốn tam giác thành hai hình chữ nhật, thành hai hình vuông nhỏ có diện tích $a^2$ và $b^2$ . Vì diện tích toàn phần và bốn tam giác không đổi nên hai phần diện tích trống phải bằng nhau: $a^2 + b^2 = c^2$ .

Phác thảo chứng minh

Hạ đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền độ dài $c$ , chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài $p$ và $q$ với $p + q = c$ . Mỗi tam giác vuông nhỏ có chung một góc nhọn với tam giác ban đầu nên cả ba tam giác đồng dạng với nhau. So sánh tỉ số giữa cạnh góc vuông và cạnh huyền ta được $\dfrac{a}{c} = \dfrac{p}{a}$ và $\dfrac{b}{c} = \dfrac{q}{b}$ , hay $a^2 = cp$ và $b^2 = cq$ . Cộng hai đẳng thức lại ta thu được $a^2 + b^2 = c(p + q) = c^2$ .

Người chứng minh

chứng minh năm -300Euclid xứ Alexandria chứng minh năm -300Lưu Huy

Chủ đề chứa định lý này

Định lý Thales, Pythagoras Lượng giác Toán học cổ đại

Định lý liên quan

Định lý cosin Định lý Thales Công thức Heron Định lý Ptolemy

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Euclid (translated by Thomas L. Heath) (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Vol. 1 (Book I, Propositions 47–48)
Eli Maor (2007). The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History