Định lýĐã chứng minh

Nguyên lý Cavalieri

Phát biểu

Nếu hai vật thể trong không gian ba chiều nằm giữa hai mặt phẳng song song $z = a$ và $z = b$ , và mọi mặt phẳng $z = t$ ( $a \le t \le b$ ) song song với hai mặt phẳng đó đều cắt hai vật thể theo các thiết diện có diện tích bằng nhau $A_1(t) = A_2(t)$ , thì hai vật thể có thể tích bằng nhau: $V_1 = V_2$ .

Vì sao đúng?

Hãy hình dung hai chồng đồng xu mỏng giống hệt nhau có chiều cao $b - a$ . Ngay cả khi đẩy lệch một chồng sang ngang thành hình nghiêng hay uốn cong, mỗi lát cắt ngang ở độ cao $t$ vẫn đi qua đúng cùng một diện tích đồng xu $A_1(t) = A_2(t)$ , và việc trượt các đồng xu theo phương ngang không bao giờ sinh thêm hay làm mất đi thể tích — nên tổng thể tích $V_1 = V_2$ không đổi.

Phác thảo chứng minh

Theo định lý Fubini (hoặc công thức tính thể tích theo thiết diện trong giải tích tích phân), thể tích của vật thể giới hạn giữa $z = a$ và $z = b$ có diện tích thiết diện khả tích $A_i(t)$ tại độ cao $z = t$ là tích phân xác định $V_i = \int_a^b A_i(t)\,dt$ . Vì $A_1(t) = A_2(t)$ với mọi $t \in [a, b]$ , nên tích phân của chúng trên $[a, b]$ bằng nhau: $V_1 = \int_a^b A_1(t)\,dt = \int_a^b A_2(t)\,dt = V_2$ .

Chủ đề chứa định lý này

Khối đa diện và thể tích Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Tích phân

Định lý liên quan

Công thức thể tích và diện tích mặt cầu (Archimedes)Định lý cơ bản của giải tích

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Bonaventura Cavalieri (1635). Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota
Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics