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球面、圆柱面、圆锥面 高三的三种旋转曲面:一条直线或一段弧绕轴旋转,分别扫出圆柱面、圆锥面、球面,它们的面积和体积公式从何而来。
直观 从多面体到旋转体 正方体或棱锥由平面围成。把一条直线或一段弧绕轴旋转,扫出的曲面处处是弯曲的:这就是旋转曲面 。最简单的三种——圆柱面、圆锥面、球面——初中就见过它们的形状;这里我们用精确的旋转规则重新构造它们,并推导公式,而不是死记。
母线绕轴扫过270° 中学 三种旋转曲面 定义: 圆柱面
设 Δ \Delta Δ ℓ \ell ℓ Δ \Delta Δ r r r ℓ \ell ℓ Δ \Delta Δ r r r 圆柱面 。用两个垂直于 Δ \Delta Δ h h h r r r h h h 圆柱 。
定义: 圆锥面
设 O O O Δ \Delta Δ O O O ℓ \ell ℓ O O O Δ \Delta Δ α \alpha α ℓ \ell ℓ Δ \Delta Δ O O O α \alpha α 圆锥面 。用垂直于 Δ \Delta Δ O O O h h h O O O h h h r = h tan α r = h\tan\alpha r = h tan α l = r 2 + h 2 l = \sqrt{r^2+h^2} l = r 2 + h 2 圆锥 。
定义: 球面
设 O O O r r r O O O r r r 球面 ,是到 O O O r r r r r r 球体 是球面所围的实心区域 { M : O M ≤ r } \{M : OM \le r\} { M : O M ≤ r }
三种旋转体的表面积与体积 立体 侧面积 全面积 体积 圆柱 (r, h) S x q = 2 π r h S_{xq}=2\pi rh S x q = 2 π r h S t p = 2 π r ( r + h ) S_{tp}=2\pi r(r+h) S tp = 2 π r ( r + h ) V = π r 2 h V=\pi r^2h V = π r 2 h 圆锥 (r, h, 母线 l) S x q = π r l S_{xq}=\pi rl S x q = π r l S t p = π r ( r + l ) S_{tp}=\pi r(r+l) S tp = π r ( r + l ) V = 1 3 π r 2 h V=\frac{1}{3}\pi r^2h V = 3 1 π r 2 h 球 (r) — S = 4 π r 2 S=4\pi r^2 S = 4 π r 2 V = 4 3 π r 3 V=\frac{4}{3}\pi r^3 V = 3 4 π r 3
半径为 r r r V sphere = 4 3 π r 3 V_{\text{sphere}}=\frac{4}{3}\pi r^3 V sphere = 3 4 π r 3 S = 4 π r 2 S=4\pi r^2 S = 4 π r 2
为什么成立? 阿基米德把半径为 r r r r r r 2 r 2r 2 r 2 3 \frac{2}{3} 3 2 V sphere = 2 3 ⋅ ( 2 π r 3 ) = 4 3 π r 3 V_{\text{sphere}}=\frac{2}{3}\cdot(2\pi r^3)=\frac{4}{3}\pi r^3 V sphere = 3 2 ⋅ ( 2 π r 3 ) = 3 4 π r 3
证明 应用到球上:把半径 r r r r r r r r r r r r x x x π ( r 2 − x 2 ) \pi(r^2-x^2) π ( r 2 − x 2 ) π r 2 − π x 2 \pi r^2-\pi x^2 π r 2 − π x 2 π r 2 ⋅ r − 1 3 π r 2 ⋅ r = 2 3 π r 3 \pi r^2\cdot r-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot r=\frac{2}{3}\pi r^3 π r 2 ⋅ r − 3 1 π r 2 ⋅ r = 3 2 π r 3 V sphere = 4 3 π r 3 V_{\text{sphere}}=\frac{4}{3}\pi r^3 V sphere = 3 4 π r 3 V sphere ( r ) V_{\text{sphere}}(r) V sphere ( r ) r r r S = 4 π r 2 S=4\pi r^2 S = 4 π r 2
半圆旋转而成的球面 例题: 圆锥、球、圆柱:比例 1 : 2 : 3
三者都取半径 r r r 2 r 2r 2 r r r r r r r r r r 2 r 2r 2 r
解答 V cone = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = 2 3 π r 3 V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi r^2(2r)=\frac{2}{3}\pi r^3 V cone = 3 1 π r 2 ( 2 r ) = 3 2 π r 3 V sphere = 4 3 π r 3 V_{\text{sphere}}=\frac{4}{3}\pi r^3 V sphere = 3 4 π r 3 V cylinder = π r 2 ( 2 r ) = 2 π r 3 V_{\text{cylinder}}=\pi r^2(2r)=2\pi r^3 V cylinder = π r 2 ( 2 r ) = 2 π r 3 2 3 π r 3 \frac{2}{3}\pi r^3 3 2 π r 3 1 : 2 : 3 1 : 2 : 3 1 : 2 : 3 r r r 2 π r ⋅ 2 r = 4 π r 2 2\pi r\cdot 2r=4\pi r^2 2 π r ⋅ 2 r = 4 π r 2 S = 4 π r 2 S=4\pi r^2 S = 4 π r 2
例题: 带半球形端盖的压力气罐的体积
一个圆柱形丙烷气罐,圆柱体筒身半径 r = 0.30 m r = 0.30\text{ m} r = 0.30 m L = 1.20 m L = 1.20\text{ m} L = 1.20 m r r r
解答 第一步 — 识别各组成部分。 气罐由一个圆柱体(半径 r r r L L L r r r
第二步 — 计算各部分体积。 V cylinder = π r 2 L = π ( 0.30 ) 2 ( 1.20 ) = 0.108 π m 3 V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 L = \pi(0.30)^2(1.20) = 0.108\pi\text{ m}^3 V cylinder = π r 2 L = π ( 0.30 ) 2 ( 1.20 ) = 0.108 π m 3 V sphere = 4 3 π r 3 = 4 3 π ( 0.30 ) 3 = 0.036 π m 3 V_{\text{sphere}} = \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{4}{3}\pi(0.30)^3 = 0.036\pi\text{ m}^3 V sphere = 3 4 π r 3 = 3 4 π ( 0.30 ) 3 = 0.036 π m 3
第三步 — 求各部分之和。 V total = V cylinder + V sphere = ( 0.108 + 0.036 ) π = 0.144 π ≈ 0.452 m 3 V_{\text{total}} = V_{\text{cylinder}} + V_{\text{sphere}} = (0.108 + 0.036)\pi = 0.144\pi \approx 0.452\text{ m}^3 V total = V cylinder + V sphere = ( 0.108 + 0.036 ) π = 0.144 π ≈ 0.452 m 3 V = π r 2 ( L + 4 3 r ) V = \pi r^2(L + \tfrac{4}{3}r) V = π r 2 ( L + 3 4 r )
历史注记
阿基米德(公元前3世纪)在《论球与圆柱》中证明了球与外接圆柱体积比为 2 : 3 2:3 2 : 3
叙拉古的阿基米德
大学 用积分证明体积公式 若两个等高的几何体在每一高度处的截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等。
为什么成立? 体积是截面面积关于高度的积分 V = ∫ 0 h S ( x ) d x V=\int_0^h S(x)\,dx V = ∫ 0 h S ( x ) d x x x x S 1 ( x ) = S 2 ( x ) S_1(x)=S_2(x) S 1 ( x ) = S 2 ( x )
证明 应用到球上:把半径 r r r r r r r r r r r r x x x π ( r 2 − x 2 ) \pi(r^2-x^2) π ( r 2 − x 2 ) π r 2 − π x 2 \pi r^2-\pi x^2 π r 2 − π x 2 π r 2 ⋅ r − 1 3 π r 2 ⋅ r = 2 3 π r 3 \pi r^2\cdot r-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot r=\frac{2}{3}\pi r^3 π r 2 ⋅ r − 3 1 π r 2 ⋅ r = 3 2 π r 3
V cylinder = π r 2 h , V cone = 1 3 π r 2 h , V sphere = 4 3 π r 3 V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 h, \qquad V_{\text{cone}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h, \qquad V_{\text{sphere}} = \tfrac{4}{3}\pi r^3 V cylinder = π r 2 h , V cone = 3 1 π r 2 h , V sphere = 3 4 π r 3 V sphere = 2 ∫ 0 r π ( r 2 − x 2 ) d x = 2 ⋅ 2 3 π r 3 = 4 3 π r 3 V_{\text{sphere}} = 2\int_0^r \pi\left(r^2-x^2\right)dx = 2\cdot\frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3 V sphere = 2 ∫ 0 r π ( r 2 − x 2 ) d x = 2 ⋅ 3 2 π r 3 = 3 4 π r 3 进阶 球面之外:其他旋转二次曲面 球是圆的旋转面。把其他圆锥曲线绕轴旋转,可以得到更多二次曲面:椭圆得到旋转椭球面,抛物线得到旋转抛物面,双曲线绕其实轴旋转得到单叶旋转双曲面 ——它是双重直纹曲面(过曲面上每一点都有两族直线落在曲面上),常用于冷却塔和齿轮形状,因为它既弯曲又能用直梁搭建。与球面不同,它的曲率并不是常数:这正是本主题通向微分几何(见微分几何 )的地方。
单叶双曲面 常见错误. "球面"(S = 4 π r 2 S=4\pi r^2 S = 4 π r 2 V = 4 3 π r 3 V=\frac{4}{3}\pi r^3 V = 3 4 π r 3 直径 代入为半径 r r r r r r 2 r 2r 2 r 一个圆柱的半径为 r r r h h h
V = π r 2 h V=\pi r^2h V = π r 2 h V = 2 π r h V=2\pi rh V = 2 π r h V = 1 3 π r 2 h V=\frac{1}{3}\pi r^2h V = 3 1 π r 2 h V = 4 3 π r 3 V=\frac{4}{3}\pi r^3 V = 3 4 π r 3 以 O O O r r r
到 O O O r r r 到 O O O r r r 由六个平面围成的实心体 绕与其相交的直径旋转整个圆所扫出的曲面 一个半径为 r r r r r r 2 r 2r 2 r
1 2 \frac{1}{2} 2 1 2 3 \frac{2}{3} 3 2 3 4 \frac{3}{4} 4 3 π 4 \frac{\pi}{4} 4 π 卡瓦列里原理之所以能证明球体积公式,是因为:
半球与圆柱减圆锥在每个高度截面积相等,因而体积相等 每个球的表面积都等于其外接正方体的表面积 球和圆柱的面数相同 体积只依赖半径,与高度无关