Lớp 12

Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

Ba mặt tròn xoay của lớp 12: quay một đường thẳng hay một cung tròn quanh trục sinh ra mặt trụ, mặt nón, mặt cầu, và các công thức diện tích, thể tích đến từ đâu.

Trực giácTừ khối đa diện tới mặt tròn xoay

Hình lập phương hay hình chóp được giới hạn bởi các mặt phẳng. Nếu quay một đường thẳng hay một cung tròn quanh một trục, mặt quét ra lại cong ở mọi điểm: đó là mặt tròn xoay. Ba mặt đơn giản nhất — mặt trụ, mặt nón, mặt cầu — đã quen thuộc từ THCS; ở đây ta dựng lại chúng bằng quy tắc quay chính xác và suy ra công thức thay vì học thuộc.

Một mặt tròn xoay đang được tạo ra: quét đường sinh

y = \sqrt{x}

trên

[0; 4]

qua góc 270° quanh trục nằm ngang. Thanh trượt góc dựng dần mặt — khe hở nhìn thấy cho thấy mặt được quét ra, chứ không cho sẵn một lần.

Phổ thôngBa mặt tròn xoay

Định nghĩa: Mặt trụ

Gọi $\Delta$ là một đường thẳng (trục). Gọi $\ell$ là một đường thẳng song song với $\Delta$ và cách một khoảng $r$ . Quay $\ell$ quanh $\Delta$ được mặt trụ bán kính $r$ . Hai mặt phẳng vuông góc với $\Delta$ , cách nhau $h$ , cắt ra một hình trụ bán kính $r$ , chiều cao $h$ .

Định nghĩa: Mặt nón

Gọi $O$ là một điểm. Gọi $\Delta$ là một đường thẳng qua $O$ (trục). Gọi $\ell$ là một đường thẳng qua $O$ , tạo với $\Delta$ một góc không đổi $\alpha$ . Quay $\ell$ quanh $\Delta$ được mặt nón đỉnh $O$ , góc ở đỉnh $\alpha$ . Một mặt phẳng vuông góc với $\Delta$ , cách $O$ một khoảng $h$ , cắt ra một hình nón: đỉnh $O$ , chiều cao $h$ , bán kính đáy $r = h\tan\alpha$ , đường sinh $l = \sqrt{r^2+h^2}$ .

Định nghĩa: Mặt cầu

Gọi $O$ là một điểm và $r$ là một số dương. Mặt cầu tâm $O$ bán kính $r$ là tập các điểm cách $O$ một khoảng $r$ — cũng là mặt quét được khi quay một nửa đường tròn bán kính $r$ trọn một vòng quanh đường kính của nó. Khối cầu là miền đặc bị giới hạn bởi mặt cầu, $\{M : OM \le r\}$ ; mặt cầu chỉ là biên của miền đó.

Diện tích và thể tích ba hình tròn xoay
Hình	Diện tích xung quanh	Diện tích toàn phần	Thể tích
Hình trụ (r, h)	$S_{xq}=2\pi rh$	$S_{tp}=2\pi r(r+h)$	$V=\pi r^2h$
Hình nón (r, h, đường sinh l)	$S_{xq}=\pi rl$	$S_{tp}=\pi r(r+l)$	$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$
Mặt cầu (r)	—	$S=4\pi r^2$	$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Định lý: Thể tích và diện tích mặt cầu

Với mặt cầu bán kính $r$ : thể tích $V_{\text{sphere}}=\frac{4}{3}\pi r^3$ và diện tích $S=4\pi r^2$ .

Vì sao đúng?

Archimedes so khối cầu bán kính $r$ với hình trụ bán kính $r$ , chiều cao $2r$ vừa khít chứa nó: khối cầu chiếm đúng $\frac{2}{3}$ hình trụ, nên $V_{\text{sphere}}=\frac{2}{3}\cdot(2\pi r^3)=\frac{4}{3}\pi r^3$ . Ông coi đây là kết quả đẹp nhất của mình và muốn hình trụ chứa khối cầu được khắc trên bia mộ.

Chứng minh

Áp dụng cho khối cầu: so nửa khối cầu bán kính $r$ với hình trụ bán kính $r$ , chiều cao $r$ , đã khoét đi một hình nón (đỉnh ở tâm đáy, bán kính đáy $r$ ). Ở độ cao $x$ , thiết diện nửa khối cầu là hình tròn diện tích $\pi(r^2-x^2)$ ; thiết diện trụ-trừ-nón là hình vành khăn diện tích $\pi r^2-\pi x^2$ — bằng nhau. Vậy nửa khối cầu có cùng thể tích với trụ trừ nón: $\pi r^2\cdot r-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot r=\frac{2}{3}\pi r^3$ . Nhân đôi cho $V_{\text{sphere}}=\frac{4}{3}\pi r^3$ , và lấy đạo hàm $V_{\text{sphere}}(r)$ theo $r$ cho $S=4\pi r^2$ .

Mặt cầu được dựng như mặt tròn xoay của nửa đường tròn: tham số

t

trải cung kinh tuyến từ cực bắc xuống, nên khi

t < 1

chỉ có chỏm cầu ở cực và khi

t = 1

hiện cả mặt cầu — mọi điểm luôn cách tâm một khoảng

r

Ví dụ: Nón, cầu, trụ: tỉ lệ 1 : 2 : 3

Lấy cùng bán kính $r$ và chiều cao $2r$ cho cả ba: một hình nón (đỉnh hướng lên, bán kính đáy $r$ ), một khối cầu bán kính $r$ , và một hình trụ (bán kính $r$ , chiều cao $2r$ ). So sánh thể tích của chúng.

Lời giải

$V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi r^2(2r)=\frac{2}{3}\pi r^3$ , $V_{\text{sphere}}=\frac{4}{3}\pi r^3$ , $V_{\text{cylinder}}=\pi r^2(2r)=2\pi r^3$ . Chia cho $\frac{2}{3}\pi r^3$ được tỉ lệ $1 : 2 : 3$ — không phụ thuộc $r$ . Hình trụ ngoại tiếp khối cầu đó còn có diện tích xung quanh $2\pi r\cdot 2r=4\pi r^2$ , đúng bằng diện tích mặt cầu $S=4\pi r^2$ .

Ví dụ: Thể tích bình khí nén có nắp bán cầu

Một bình khí propane hình trụ có thân trụ bán kính $r = 0.30\text{ m}$ , dài $L = 1.20\text{ m}$ , và hai đầu được nắp bởi các chỏm bán cầu cùng bán kính $r$ . Tính thể tích toàn bộ bình.

Lời giải

Bước 1 — Xác định các thành phần. Bình gồm một hình trụ (bán kính $r$ , chiều cao $L$ ) cộng với hai chỏm bán cầu, hợp thành một khối cầu đầy đủ bán kính $r$ .

Bước 2 — Tính từng thể tích. $V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 L = \pi(0.30)^2(1.20) = 0.108\pi\text{ m}^3$ . $V_{\text{sphere}} = \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{4}{3}\pi(0.30)^3 = 0.036\pi\text{ m}^3$ .

Bước 3 — Cộng các phần. $V_{\text{total}} = V_{\text{cylinder}} + V_{\text{sphere}} = (0.108 + 0.036)\pi = 0.144\pi \approx 0.452\text{ m}^3$ . Đây là công thức tiêu chuẩn cho hình "viên nang": $V = \pi r^2(L + \tfrac{4}{3}r)$ .

Đại họcChứng minh công thức thể tích bằng tích phân

Định lý: Nguyên lý Cavalieri

Nếu hai khối có cùng chiều cao và thiết diện cùng diện tích ở mọi độ cao, thì hai khối có cùng thể tích.

Vì sao đúng?

Thể tích là tích phân của diện tích thiết diện theo chiều cao, $V=\int_0^h S(x)\,dx$ ; nếu $S_1(x)=S_2(x)$ với mọi $x$ , hai tích phân đó bằng nhau.

Chứng minh

V_{\text{cylinder}} = \pi r^2 h, \qquad V_{\text{cone}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h, \qquad V_{\text{sphere}} = \tfrac{4}{3}\pi r^3

V_{\text{sphere}} = 2\int_0^r \pi\left(r^2-x^2\right)dx = 2\cdot\frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3

Nâng caoNgoài mặt cầu: các mặt bậc hai tròn xoay khác

Mặt cầu là mặt tròn xoay của một đường tròn. Quay các đường conic khác quanh một trục cho thêm các mặt bậc hai khác: elip cho mặt cầu dẹt, parabol cho mặt paraboloid tròn xoay, và hyperbol quay quanh trục thực cho mặt hyperboloid tròn xoay một tầng — mặt kẻ kép (qua mỗi điểm có hai họ đường thẳng nằm trên mặt), dùng làm tháp giải nhiệt và bánh răng vì vừa cong vừa dựng được từ các thanh thẳng. Khác mặt cầu, độ cong của nó không hằng: đây là chỗ chủ đề nối sang hình học vi phân (xem Hình học vi phân).

Mặt hyperboloid một tầng

x^2 + y^2 - z^2 = 1

, thu được bằng cách quay một hypebol quanh trục thực của nó: nó điều hướng kép (qua mỗi điểm có hai đường thẳng nằm trong mặt), nên tháp giải nhiệt dùng hình này. Thanh trượt

t

kéo mặt ra từ eo thắt lại.

Một hình trụ có bán kính $r$ , chiều cao $h$ . Đâu là thể tích của nó?

Mặt cầu tâm $O$ bán kính $r$ được mô tả đúng nhất là:

Một khối cầu bán kính $r$ nằm khít trong hình trụ bán kính $r$ , chiều cao $2r$ (chạm đáy, nắp và mặt bên). Khối cầu chiếm bao nhiêu phần thể tích hình trụ?

Nguyên lý Cavalieri chứng minh được công thức thể tích mặt cầu vì:

Tài liệu tham khảo

Archimedes, translated by T. L. Heath (2002). The Works of Archimedes