Định lý tuyệt diệu của Gauss (Theorema Egregium)

Phát biểu

Độ cong Gauss $K = \kappa_1 \kappa_2$ của một mặt trơn $S \subset \mathbb{R}^3$ (tích hai độ cong chính $\kappa_1$ và $\kappa_2$) là một bất biến nội tại: nó chỉ phụ thuộc vào dạng cơ bản thứ nhất $I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2$ cùng các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của dạng này, và do đó được bảo toàn qua mọi phép đẳng cự địa phương.

Vì sao đúng?

Từng độ cong chính $\kappa_1$ và $\kappa_2$ mô tả cách mặt uốn cong trong không gian bao quanh $\mathbb{R}^3$ — cuộn một tờ giấy phẳng ($\kappa_1 = 0, \kappa_2 = 0$) thành hình trụ bán kính $r$ làm chúng đổi thành $\kappa_1 = 1/r$ và $\kappa_2 = 0$ mà không kéo giãn hay làm rách giấy. Thế nhưng tích của chúng $K = \kappa_1 \kappa_2$ vẫn bằng $0$, trong khi mặt cầu bán kính $r$ có $K = 1/r^2 > 0$ nên không bao giờ có thể trải phẳng lên mặt phẳng mà không làm biến dạng khoảng cách; những cư dân hai chiều chỉ đo độ dài và góc ngay trên mặt cũng có thể xác định được $K$ mà không cần nhìn thấy không gian bao quanh $\mathbb{R}^3$.

Chủ đề chứa định lý này

Định lý liên quan

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.