Hình học phi Euclid

Không như bốn tiên đề còn lại của Euclid, vốn hiển nhiên trên một phần giới hạn của mặt phẳng, tiên đề thứ năm nói về những đường thẳng kéo dài vô hạn — một khẳng định về vô cực không thể kiểm tra bằng cách vẽ hình. Điều đó khiến nó có vẻ giống một định lý cần được chứng minh từ các tiên đề kia hơn là một tiên đề; cuộc tìm kiếm đó kéo dài suốt hai nghìn năm.

Bước 1 — Suy ra tiên đề Playfair từ tiên đề thứ năm của Euclid. Cho đường thẳng $\ell$ và điểm ngoài $P \notin \ell$. Hạ đường vuông góc $t$ từ $P$ xuống $\ell$, rồi dựng đường thẳng $m$ qua $P$ vuông góc với $t$. Theo tính chất góc so le trong, $m$ song song với $\ell$. Bất kỳ đường thẳng nào khác qua $P$ đều tạo với $t$ hai góc trong cùng phía thỏa mãn $\alpha + \beta < \pi$, nên theo tiên đề thứ năm của Euclid nó phải cắt $\ell$. Vậy $m$ là đường thẳng song song duy nhất qua $P$.

Bước 2 — Suy ra tổng ba góc tam giác Euclid từ tiên đề Playfair. Cho tam giác $\triangle ABC$, kẻ đường thẳng duy nhất $m$ qua $A$ song song với $BC$. Các cặp góc so le trong tạo bởi cát tuyến $AB$ và $AC$ chuyển $\angle B$ và $\angle C$ về kề với $\angle A$ dọc theo đường thẳng $m$ nơi $\alpha + \beta = \pi$, suy ra $\angle A + \angle B + \angle C = \pi$.

Một tờ giấy (phẳng, $K=0$) có thể cuộn thành hình trụ mà không cần kéo giãn, và hình trụ vẫn có $K=0$ về mặt nội tại — một con bọ sống trên đó, chỉ đo đạc ngay trên mặt, sẽ thấy hình học Euclid thông thường, dù hình trụ trông cong khi nhìn từ bên ngoài. Nhưng không tờ giấy phẳng nào có thể bọc quanh một mặt cầu ($K>0$) mà không bị kéo giãn hay nhăn — đó chính là lý do vì sao mọi bản đồ phẳng của Trái Đất đều làm méo một điều gì đó. Gauss chứng minh điều này năm 1827 bằng một công thức tính $K$ được xây dựng hoàn toàn từ dạng cơ bản thứ nhất, nên nó không bao giờ tham chiếu tới cách mặt đó đặt trong không gian.

Bước 1 — Viết công thức ngoại tại theo hai dạng cơ bản. Một mặt trơn $\mathbf{x}(u,v)$ trong $\mathbb{R}^3$ có dạng cơ bản thứ nhất $I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2$ và dạng cơ bản thứ hai $II = L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2$. Toán tử hình dạng có định thức đúng bằng độ cong Gauss $K = \kappa_1 \kappa_2 = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}$.

Bước 2 — Khử vectơ pháp tuyến nhờ hệ phương trình Gauss. Lấy đạo hàm các phương trình khung Gauss và áp dụng tính chất đạo hàm riêng hỗn hợp cấp ba bằng nhau $\mathbf{x}_{uuv} = \mathbf{x}_{uvu}$ giúp biểu diễn tử số $LN - M^2$ thuần túy theo các hệ số mêtric $E, F, G$ cùng các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của chúng (ký hiệu Christoffel).

Bước 3 — Thu được công thức nội tại Brioschi trong hệ tọa độ trực giao. Trong tọa độ trực giao ($F = 0$), đồng nhất thức tương thích rút gọn trực tiếp thành $K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)$. Vì biểu thức này chỉ phụ thuộc vào $E, F, G$, mọi phép đẳng cự bảo toàn $I$ đều tự động bảo toàn $K$.

Đây chính là phiên bản chính xác, định lượng của ý tưởng con kiến và tam giác ở phần mở đầu: độ dư (hoặc độ hụt) góc không chỉ là dấu hiệu của độ cong, mà nó bằng tổng độ cong được bao trong đó. Đây là một trong những cây cầu sâu sắc nhất của toán học, nối hình học (độ cong, một khái niệm trơn, địa phương, thuộc về mêtric) với tô pô (đặc trưng Euler, một khái niệm rời rạc, toàn cục, thuần túy tổ hợp) — một mặt cầu ($\chi=2$) phải có tổng độ cong dương dù được uốn ra sao, còn một mặt xuyến ($\chi=0$) phải có tổng độ cong trung bình bằng không, dù nó cong cục bộ thế nào.

Bước 1 — Chứng minh công thức địa phương trên một tam giác trắc địa. Gọi $T$ là tam giác trắc địa giới hạn bởi ba cung trắc địa tạo thành biên $\partial T$. Trong khung trực chuẩn dọc theo $\partial T$, độ cong trắc địa trên mỗi cạnh trơn bằng 0, còn tổng ba góc nhảy ngoài tại ba đỉnh là $(\pi - \alpha) + (\pi - \beta) + (\pi - \gamma) = 3\pi - (\alpha + \beta + \gamma)$. Áp dụng định lý Green cho dạng liên thông quanh $\partial T$ cho thấy tổng góc quay $2\pi$ trừ đi tổng góc ngoài đúng bằng tích phân độ cong, suy ra $\iint_T K\,dA = \alpha + \beta + \gamma - \pi$.

Bước 2 — Cộng trên một tam giác phân trắc địa của mặt kín. Tam giác phân mặt kín $M$ thành $F$ tam giác trắc địa với $E$ cạnh và $V$ đỉnh. Vì mỗi tam giác có 3 cạnh và mỗi cạnh chung cho 2 tam giác nên $3F = 2E$. Cộng công thức địa phương trên mọi tam giác và lưu ý tổng các góc quanh mỗi đỉnh trong $V$ đỉnh bằng $2\pi$, ta được $\iint_M K\,dA = \sum_{i=1}^F (\alpha_i + \beta_i + \gamma_i - \pi) = 2\pi V - \pi F$. Thay hệ thức cạnh-mặt vào cho ta $\iint_M K\,dA = 2\pi(V - E + F) = 2\pi \chi(M)$.