Tiên đềĐộc lập với tiên đề

Tiên đề song song của Euclid

Phát biểu

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn hai góc vuông ( $\alpha + \beta < 180^\circ$ ), thì hai đường thẳng đó khi kéo dài vô hạn sẽ cắt nhau ở phía đó. Một cách tương đương (tiên đề Playfair), trong mặt phẳng, cho đường thẳng $\ell$ và điểm $P$ không thuộc $\ell$ , có nhiều nhất một đường thẳng đi qua $P$ và song song với $\ell$ .

Vì sao đúng?

Bốn tiên đề đầu của Euclid mô tả các phép dựng hình cục bộ — nối đoạn thẳng, kéo dài đường thẳng, vẽ đường tròn và so sánh góc vuông — có thể kiểm tra trong một miền hữu hạn, trong khi tiên đề thứ năm đưa ra một khẳng định toàn cục về việc hai đường thẳng có $\alpha + \beta < 180^\circ$ cuối cùng có cắt nhau ở nơi xa tùy ý hay không. Trên mặt có độ cong âm dạng yên ngựa (mặt phẳng hyperbolic), các đường trắc địa tỏa ra nhanh đến mức có vô số đường thẳng đi qua $P$ không bao giờ cắt $\ell$ , cho thấy độ phẳng ở vô cực là một lựa chọn hình học độc lập chứ không phải hệ quả lô-gic của các quy tắc cục bộ.

Phác thảo chứng minh

Mặt phẳng Descartes $\mathbb{R}^2$ là mô hình thỏa mãn mọi tiên đề của hình học tuyệt đối cùng với tiên đề song song, trong khi các mô hình đĩa Beltrami–Klein và Poincaré bên trong đĩa đơn vị $\mathbb{D} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 1\}$ thỏa mãn mọi tiên đề của hình học tuyệt đối cùng với phủ định của tiên đề song song (có vô số đường thẳng qua $P$ không cắt $\ell$ ). Vì cả hai mô hình đều được xây dựng bên trong hình học Euclid, nên cả tiên đề song song lẫn phủ định của nó đều không thể suy ra từ các tiên đề còn lại.

Người phát biểu

nêu năm -300Euclid xứ Alexandria

Chủ đề chứa định lý này

Hình học phi Euclid

Định lý liên quan

Định lý Gauss–Bonnet Định lý tuyệt diệu của Gauss (Theorema Egregium)Định lý Thales

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Euclid (translated by Thomas L. Heath) (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Vol. 1 (Book I, Postulate 5)
Marvin Jay Greenberg (2008). Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History
John Stillwell (1996). Sources of Hyperbolic Geometry · DOI:10.1090/hmath/010